Cusanus und Cauchy

Der 21. August 1789 war ein bedeutsamer Tag. In den USA schreibt Präsident Washington eine Einladung an den Senat, um Verhandlungen mit den Cherokee Indianern vorzubereiten. (Diese Verhandlungen führten zwar zu Umsiedlungen, sicherten den Cherokee aber das Überleben. Mit einer viertel Million Nachfahren – u.a. Quentin Tarantino – sind die Cherokee heute das größte noch existierende Indianervolk Nordamerikas.)

Eine ganz andere, stille Revolution nahm ebenfalls an diesem Tag ihren Anfang. In Paris wurde der französische Mathematiker Augustin Louis Cauchy geboren. Cauchy lieferte wichtige mathematische Instrumente, die später von der Quantenphysik genutzt wurden. So wird der Begriff des vollständigen Raums durch Cauchy-Folgen definiert. Vollständige Räume sind eine wichtige Basis für die Mathematik der Quantenphysik (sog. Hilberträume). Was das genau ist und bedeutet, wollen wir nun über einen Umweg ins Mittelalter erfahren.

Nicolaus Cusanus hat in De docta ignorantia (1440) den Versuch unternommen, das Zusammenfallen von Gegensätzen zu demonstrieren.

Ein Kreis und eine gerade Linie sind zwei völlig verschiedene Dinge. Wie sollte man sich auch vorstellen können, dass Kreis und Linie identisch sein könnten?
Im 13. Kapitel der belehrten Unwissenheit führt Cusanus dazu ein Gedankenexperiment durch. Dazu betrachten wir in der unteren Abbildung die gerade Linie AB und den Kreisbogen HG (Ergänzungen JKM und Rechenbeispiele von mir).

Cusanus Kreis

Stellen wir uns für die Verbindungslinie HG bzw. JK ein 30-cm-Lineal vor. Wir sehen einen Halbkreis HMG mit Radius 15 cm und einer Fläche von 353,42 cm². Was nun den Kreis hier sichtbar von der geraden Linie unterscheidet sind die beiden Flächenstückchen JHM und KGM von zusammen ε = 96,58 cm² Fläche.
Bei einem größeren Kreisbogen (FE) schmiegt sich die Tangente noch stärker an den Kreis an und ein ε kleiner als 50 cm² Fläche wird erreicht. Wir können nun die immer größer werdenden Kreise mit dem Index N nummerieren:
N=1 Bogen GMH
N=2 Bogen FME
N=3 Bogen DMC
etc.
Wir stellen uns eine Abfolge immer größerer Kreise vor. Damit sollte es also möglich sein, sich ein bestimmtes ε auszudenken, etwa ε= 1 mm² und dazu einen hinreichend großen Kreis N zu finden, der das Kriterium erfüllt. Die Tangente des Kreises fällt immer mehr mit dem Kreisbogen zusammen. (Sehr anschaulich ist unser Erdball mit einem Radius von 6378,1 Kilometern. Ein 30-cm-Lineal liegt flach auf dem Boden auf.)

Das, was Cusanus hier einführt, entspricht einer Cauchy-Folge.

Betrachten wir noch ein Beispiel aus der Mathematik. Hier betrachtet man Zahlenfolgen, die die Quadratwurzel aus 2 (1,414213562373095048801688724209 69807856967187537694 … ) durch einen Bruch ganzer Zahlen annähern. Die irrationale Zahl „Quadratwurzel aus 2“ gehört selbst nicht zur Menge der rationalen Zahlen. Analog könnten wir interpretieren, dass eine gerade Linie nicht zur Menge der Kreisbögen gehört, wohl aber beliebig angenähert werden kann.

Bemerkenswert ist nun, wie Cusanus diese Beobachtung interpretiert:

„Da jedoch das, was der Möglichkeit nach in der endlichen Linie liegt, die unendliche Linie in Wirklichkeit ist, so wird uns auf diese Weise der Gegenstand unserer Untersuchung klarer werden.“

Da jedes Wort eine Rolle spielt, hier noch einmal die Passage im Original:

„Et quia quidquid est in potentia finitae, hoc est infinita actu, erit nobis clarius id quod inquirimus.“

Das Attribut der Wirklichkeit kommt hier dem als Ideal gedachten Kreisbogen des unendlich grossen Kreises zu (infinita actu). Die realen Kreisbögen werden mit der Kategorie der Möglichkeit (potentia finitae) assoziiert.
Die Quantenphysik hat später diese Interpretation auf den Kopf gestellt. Die ideale Quantenwelle Ψ ist eben nicht real, sondern nur die Messung von Amplituden |Ψ|² im Labor. Die Deutungshoheit wechselte also von Gott ins Labor!

Wie also würde Cusanus das Experiment mit Schrödingers Katze interpretieren? Die Quantenwelle – die Überlagerung aus toter und lebendiger Katze – ist die göttliche Wirklichkeit. (Eine Wirklichkeit, die wir nur in nicht ergreifender Weise – vermittels der belehrten Unwissenheit – verstehen). Die Messung im Labor ist nur menschliches Stückwerk.
Offenbar erlaubt eine im Kern identische Mathematik zwei völlig verschiedene Interpretationen.

2 Kommentare

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2 Antworten zu “Cusanus und Cauchy

  1. Aus der Figur des unendlichen Kreises hat Blumenberg in seinen Paradigmen zu einer Metaphorologie auch den Begriff der „Sprengmetaphorik“ entwickelt:

    [Die Sprengmetaphorik des Cusaners] zieht die Anschauung in einen Prozeß hinein, in dem sie zunächst zu folgen vermag (z.B. den Radius des Kreises verdoppelt und immer weiter vergrößert zu denken), um aber an einem bestimmten Punkt (z.B. den größtmöglichen bzw. unendlichen Radius eines Kreises zu denken) aufgeben – und das wird verstanden als ’sich aufgeben‘ – zu müssen. […] Die Hilfe der Mathematik , die Andersartigkeit des Göttlichen zu begreifen, beruht darauf, daß die coincidentia oppositorum des göttlichen Seins formal durch die angezeigte metaphorische Methode ’nachkonstruiert‘ werden kann. […] [Die Sprengmetaphorik] induziert eine Haltung, ein Verhalten, die mit großer Allgemeinheit als ‚mystisch‘ bezeichnet werden, beim Cusaner spezifisch als docta ignorantia, als jene Unwissenheit, die sich selbst als Indiz der Übergröße ihres unabdingbaren Gegenstandes ‚weiß‘ und die sich von scholastischer Wissenschaft, als Unterschätzung dieses Gegenstandes, absetzt. Die von der Metapher induzierte Haltung aktualisiert sich im Gebrauch der Metapher, deren Implikationen docta ignorantia ist; dueser prozessuale Zirkel vergewissert sich seiner in einer eigentümlich fortschrittslosen Produktivität der cusanischen Metaphorik, die nicht aus sich ‚heraus‘ und über sich ‚hinaus‘ will. Der Cusaner hat den hochscholastischen Glauben an die dienstwillige Subordination der Logik unter die Metaphysik nicht mehr; er brüskiert die Logik mit einer gewissen apotropäischen Hinterhältigkeit, sah er doch die Ursünde in der Verführung des Menschen durch die IDee des Wissens, im Gottgleichseinwollen in scientia. (Paradigmen, S. 179-184)

    Inwiefern die cusanische und die quantentheoretische Logik „im Kern gleich“ sind, kann ich nicht beurteilen. Aber wenn, dann bestünde der Unterschied der zwei Interpretationen offenbar zum einen im apotropäischen Erfolg einer sprengmetaphorischen Insubordination der Logik und zum anderen in der wahrscheinlichkeitstheoretischen Indienstnahme des Versagens ihrer Anschaulichkeit auf Quantenebene.

  2. Nachtrag:
    Ich bin kürzlich auf die Arbeit „Hegel und Cauchy: Eine Untersuchung zur Philosophie und Geschichte der Mathematik.“ von Michael Wolff
    (1987) aufmerksam geworden. Erschienen in: J. M. Petry & R. P. Horstmann (Eds. ), Hegel und die Naturwissenschaften. Spekulation und Erfahrung : Abt. 2, Untersuchungen ; 2. (pp. 197-263). Stuttgart-Bad Cannstatt: Frommann-Holzboog.
    Ich konnte mich der Arbeit bisher nur über Sekundärliteratur nähern (Beispiel: Hegels Philosophie der Mathematik (von P. Stekeler-Weithofer) http://www.uni-leipzig.de/~philos/stekeler/&lehre/ws-1112/PSW-WS1112-MP-Philos-Mathematik.pdf ), aber mehrere Beobachtungen sind bereits festzuhalten.
    1. Hegel hat sich sehr intensiv mit der zeitgenössischen Mathematik beschäftigt.
    2. Mit Cauchy hat sich Hegel nicht unmittelbar, sondern über Dirksens Rezensionen (zum Beispiel: http://bit.ly/11LJUfG ) beschäftigt.
    3. Zeitgenössische Lehrbücher zur Analysis – wie die von Dirksen – hatten einen eher technischen, anwendungsbezogenen Charakter (entsprechend dem heutigen FH-Standard ‚Mathematik für Ingenieure‘). (Dirksen lehrte übrigens auch an der Königlichen Allgemeinen Kriegsschule in Berlin).
    4. Hegels Wort der ’schlechten Unendlichkeit‘ muss im Kontext dieser aus metamathematischer Sicht unreflektierten Lehrbücher verstanden werden.
    5. In seinem Bemühen, einen kritisch-reflektierten Begriff der Unendlichkeit zu finden, greift Hegel Strukturen von Cusanus auf.

    Mathematisch gesehen betrachten wir die Äquivalenzklassen (Cusanus ~ Cauchy) , (Hegel ~ Cauchy) und (Cusanus ~ Hegel).
    Dies sind zunächst nur Notizen für eine Arbeitshypothese. Wir gewinnen damit eine neue Perspektive in Bezug auf das Verhältnis von Cusanus und Hegel.

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