Monatsarchiv: Februar 2013

Undenkbare Negation. Über Dedekinds unendliche Systeme

Der Mathematiker Richard Dedekind (1831 – 1916) war ein Pionier der Metamathematik. Er war der erste Mathematiker, der eine exakte Einführung der natürlichen Zahlen durch Axiome versuchte. (Kurze Zeit später publizierte Giuseppe Peano einen alternativen Ansatz.)

Mit der 1888 publizierten Schrift „Was sind und was sollen die Zahlen?“ schrieb Dedekind Mathematikgeschichte. Gleich im Vorwort zur ersten Auflage formuliert er seine Vorstellung des Zahlbegriffs:

„Indem ich die Arithmetik (Algebra, Analysis) nur einen Teil der Logik nenne, spreche ich schon aus, daß ich den Zahlbegriff für gänzlich unabhängig von den Vorstellungen oder Anschauungen des Raumes und der Zeit, daß ich ihn vielmehr für einen unmittelbaren Ausfluß der reinen Denkgesetze halte.“

Dedekind schrieb dieses Vorwort am Vorabend seines 56. Geburtstags und konnte auf ein breites Erfahrungsspektrum verschiedener Bereiche der Mathematik zurückblicken. Im gleichen Alter vollendete Kant die Kritik der reinen Vernunft. Offenbar negiert Dedekind hier Kants transzendentale Ästhetik. Wie wir später sehen werden, ist dies ein folgenschwerer Fehler.

Dedekinds Text liest sich in weiten Teilen wie ein mathematisches Lehruch: rational, nüchtern und systematisch-logisch aufgebaut. Eine merkwürdige Ausnahme ist der 66. Satz: dort beweist Dedekind die Existenz unendlicher Systeme. Wegen der Bedeutung dieses Gedankengangs hier der komplette „Beweis“:

Satz. Es gibt unendliche Systeme.
Beweis. Meine Gedankenwelt, d.h. die Gesamtheit S aller Dinge, welche Gegenstand meines Denkens sein können, ist unendlich. Denn wenn s ein Element von S bedeutet, so ist der Gedanke s‘, dass s Gegenstand meines Denkens sein kann, selbst ein Element von S. Sieht man dasselbe als Bild φ(s) des Elementes s an, so hat daher die hierdurch bestimmte Abbildung φ von S die Eigenschaft, dass das Bild S‘ Teil von S ist; und zwar ist S‘ echter Teil von S, weil es in S Elemente gibt (z.B. mein eigenes Ich), welche von jedem solchen Gedanken s‘ verschieden und deshalb nicht in S‘ enthalten sind. Endlich leuchtet ein, dass, wenn a, b verschiedene Elemente von S sind, auch ihre Bilder a‘, b‘ verschieden sind, dass also die Abbildung φ eine deutliche (ähnliche) ist. Mithin ist S unendlich, w.z.b.w.

Mein erster Eindruck: Das ist ziemlich starker Tobak. Die Redewendung „starker Tobak“ stammt übrigens von der Legende eines Jägers, der im Wald dem Teufel begegenet und ihm erzählt, seine Flinte sei eine Tabakspfeife. Natürlich konnte der Teufel nicht wiederstehen – mit entsprechenden Konsequenzen. Ich erwähne diese Anekdote, weil der obige Beweis prototypisch ist für mathematische Konstrukte, die später die sogenannte Grundlagenkrise der Mathematik ausgelöst haben.
Für Mathematiker ist der Beweis zumindest vom Wording her nachvollziehbar, wenn sie den Begriff „System“ durch „Menge“ ersetzen und „ähnlich“ durch „injektiv“. Für Nicht-Mathematiker nun Erläuterung zu Dedekinds Begriffen. Nehmen wir an, S sei die Menge der natürlichen Zahlen. Eine berühmte Abbildung φ ist die Nachfolgerabbildung N. Diese ordnet jeder natürlichen Zahl seinen Nachfolger zu. Konkret:
φ(1)=2
φ(2)=3
φ(3)=4 etc.
Nach Dedekind heißt eine Abbildung φ ähnlich (im heutigen Sinne injektiv), wenn verschiedenen Elementen a,b des Systms S (im heutigen Sinne der Menge S) stets verschiedene Bilder a’=φ(a), b’=φ(b) entsprechen. Das ist bei der Nachfolgerabildung offenbar erfüllt.

Nun wollen wir die Gültigkeit des Dedekindschen Beweises überprüfen. Ich greife hier eine Argumentation aus dem ausgezeichneten Paper Existenz und Negation in Mathematik und Logik von Prof. Erwin Engeler auf. Engeler erkennt die Verknüpfung von Arithmetik und Logik den entscheidenden Punkt:

„Mit der Anrufung der Gesamtheit der Gegenstände des Denkens begibt sich Dedekind … in die philosophische Logik und sucht darin letzten existentiellen Halt.“

Engeler formalisert das Dedekinds Konzept der Menge der Gedanken:
[ich], d · [ich], d · (d · [ich]), …
Dabei steht d für “denken über etwas”. Der Gedanke „ich denke“ ist also zum Beispiel selbst möglicher Gegenstand des Denkens.
Gegenstände des Denkens sind Allgemeinbegriffe und Individualbegriffe.

Nach Engeler lassen sich Allgemeinbegriffe aus der Gedankenverknüpfung von Denkobjekten ableiten. Nehmen wir die Individualbegriffe [Tee] und [Kaffee] und die Frage: Möchten Sie Tee oder Kaffee? Wie lautet die Formel, wenn wir uns für Tee entscheiden?
Die Entscheidungsfunktion K lautet
K·[Tee]·[Kaffee] = [Tee]
oder allgemein:
K·x·y = x.
Diese Verknüpfungsfunktion K kann nun selbst Gegenstand des Denkens sein (K ist also gemäß Dedekind Element von S). Wenn das nun für sämtliche Allgemeinbegriffe gezeigt werden kann, hat Dedekind gewonnen.

Engeler greift nun den Negationsbegriff N auf, den er definiert als „das Negative an sich, also den Gedanken, dessen Anwendung auf einen beliebigen Allgemeinbegriff diesen in sein Gegenteil verkehrt.“
Darauf aufbauend definiert er einen neuen Allgemeinbegriff durch folgende Verknüpfungsformel:
R·x = N·(x·x)
Das R soll nun selbst wieder Gegenstand des Denkens sein, so dass wir R für x einsetzen können:
R·R = N·(R·R)
Dies ist ein klarer Widerspruch: aus dem Negationsbegriff wird plötzlich der Identitätsbegriff! R ist kein Element von S. Damit hat Dedekind verloren – der Beweis funktioniert nicht.

Das Scheitern einer logischen Begründung der Mathematik hat auch Bertrand Russell und Gottlob Frege intensiv beschäftigt. Gegen Ende seines Papers verweist Engeler auf aktuelle Entwicklungen wie zum Beispiel die Neuroinformatik.

Ich füge nun eigene Betrachtungen hinzu. Der Apparat des Denkens ist das Gehirn. Wie können uns das Gehirn als ein assoziatives System mit der Struktur eines Parallelrechners vorstellen. Die Objekte des Denkens, etwa [Tee],[Kaffee],[Luhmann] und [Maturana] werden jeweils durch die synchrone Aktivität einer Gruppe von Neuronen repräsentiert (synfire chains, cortikale Säulen etc.).
Das Beispiel der sensorischen und motorischen Karten zeigt, dass es eindeutige Abbildungen im Gehirn gibt:
Homunculus-de
Entsprechend ist anzunehmen, dass Begriffe wie [Tee] oder [Kaffee] eindeutig im Gehirn repräsentiert sind. Durch gemeinsame Verknüpfungen kann nun ein Begriff [a] bei seiner Aktivierung die Asssoziation eines Begriffes [b] auslösen:
[Luhmann]·[Maturana]
wäre die formelle Beschreibung einer Assoziation – etwa: „Beim Lesen von Luhmann musste ich an Maturana denken.“
Allgemein x·y steht für: x löst die Assoziation y aus.
Ein Ausdruck x·x macht aber in diesem Zusammenhang keinen Sinn! Für eine Neurologik wäre eine Art Pauli-Prinzip einzuführen, das Ausdrücke wie x·x als nicht zulässig erklärt. (Und damit könnte Engeler seinen Formeltrick hier nicht anwenden!)
Das, was bei Kant transzendentale Ästhetik heißt, wäre hier als topologische Konstitution der Neurologik zu interpretieren.

Ein weiterer Blickwinkel ergibt sich aus der Geschichte der Philosophie. Offenbar hat oben der Negationsbegriff die Antinomie ausgelöst. Ich erinnere nur an Spinozas omnis determinatio est negatio (siehe dazu: Negation und Impertinenz.)
Dazu kommen Überlegungen aus der Quantenmechanik, die uns mit einer dualen mathematischen Struktur aus Raum und Dualraum vertraut macht (siehe dazu Ewige Zeugung und Quantenkollaps).
Die Gedankenwelt von Cusanus, Spinoza und Hegel ist nicht verträglich mit Dedekinds Idee einer homogenen Gedankenwelt S.
Wahrscheinlich kommt eine duale Struktur der Wahrheit näher, etwa:
Gedankenwelt S := {{Raum},{Dualraum}}.

Wie steht es nun also um die Metamathematik? Fast 24 Jahre nach der ersten Auflage von „Was sind und was sollen die Zahlen?“ schrieb Dedekind das Vorwort zur dritten Auflage. Darin konstatiert er, dass sich „inzwischen Zweifel an der Sicherheit wichtiger Grundlagen meiner Auffassung geltend gemacht hatten.“ Seine Reaktion darauf sei das heutige Schlusswort:

„Aber mein Vertrauen in die innere Harmonie unserer Logik ist dadurch nicht erschüttert; ich glaube, daß eine strenge Untersuchung der Schöpferkraft des Geistes, aus bestimmten Elementen ein neues Bestimmtes, ihr System zu erschaffen, das notwendig von jedem dieser Elemente verschieden ist, gewiß dazu führen wird, die Grundlagen meiner Schrift einwandfrei zu gestalten.“

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Die Beatles und die Serendipität

George Harrison geht im Haus seiner Eltern wahllos auf ein Bücherregal zu, greift sich wahllos ein Buch und zeigt wahllos auf eine Stelle und findet die Worte „gently weeps“. Dies wird der Kondensationskeim für das famose „While My Guitar Gently Weeps“.

Diese und andere Anekdoten finden sich in dem Sammelband Die Beatles und die Philosophie von Michael Baur. Dies ist ein Beispiel für die Beatles als Empfänger von Serendipität.

Spannender noch ist die Rolle der Beatles als Sender von Serendipität. Prominentes Beispiel ist „I’m the walrus“:

John Lennon betreibt Störkommunikation: Jeder Versuch einer sinnhaften Interpretation soll sabotiert werden. Natürlich gab und gibt es viele Interpretationen zu dem Stück.
(Besonders bemerkenswert ist die Auflösung des „eggman“-Motivs).
Im Kopf des Zuhörers formen sich trotz des intendierten Nonsense sinnhafte Assoziationen (trains of association). Der Hörer wird in diesem Sinne zum Empfänger von Serendipität. Wäre dann John Lennon im positiven Sinne als Troll zu betrachten?

In dem Sammelband von Michael Baur werden die philosophischen Strömungen zur Zeit der Beatles besprochen – vom Existenzialismus bis zur Postmoderne.
Vielleicht können wir Lennon als Gegenpol zu Sartre betrachten: Ist die Lektion aus ‚I’m the walrus‘ nicht schlicht und ergreifend, dass wir lernen sollen, über Kontingenz zu lachen?
Dies passt zu einer aktuellen Strömung der Philosophie – dem spekulativen Realismus, der u.a. von Quentin Meillassoux vertreten wird. Die Bindung von Welt an ein wahrnehmendes Ich wird bei Meillassoux aufgehoben. Selbst die Naturgesetze haben durch und durch den Stallgeruch von Kontingenz: Der Urknall hätte durchaus völlig andere Naturgesetze auswürfeln können.(*)
Wenn wir die Götter einfach mal Götter sein lassen und der Kontingenz die Hand reichen, dann steht auch der Serendipität eine Karriere bevor.

(*) Was die kosmologischen Implikationen anbelangt, kann ich die Thesen des spekulativen Realismus nicht teilen. Dazu an anderer Stelle mehr.

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Vernetzte Anonymität. Twitter biokybernetisch betrachtet.

Ich habe keine Ahnung von Soziologie. Dies spricht für meine Eignung, Fragen zur Soziologie zu beantworten.
Die zumeist anonyme Kommunikation in sozialen Netzwerke wird – so scheint es mir – gerade erst von Soziologen als Beobachtungs- und Untersuchungsgegenstand entdeckt. Eine bedeutende Frage ist nun, ob die vernetzte Anonymität eine neue Qualität darstellt und worin genau diese neue Qualität der Kommunikation in sozialen Netzwerken besteht. Ich widme mich hier speziell dem Untersuchungsgegenstand Twitter und verwende Kategorien aus der biologischen Kybernetik zur Beschreibung. Ziel ist es – über das Bindeglied Systemtheorie – zu einem für Soziologen anschlussfähigem Resultat zu kommen.

Die biologische Kybernetik interessiert sich für die Gesetze, die die selbstorganisierte Evolution komplexer Systeme ermöglichen. Ein Meilenstein war vor 60 Jahren das Miller-Urey-Experiment. Die Entstehung von Makromolekülen aus einer Ursuppe ist sozusagen ein Leuchtturmexperiment für Emergenz. Können wir Twitter als eine Ursuppe betrachten? Welche Strukturen würden dabei den Makromolekülen entsprechen?

Zur Beantwortung verlassen wir die Biochemie und wenden uns der Gehirnforschung zu. Hier interessiert uns das Prinzip der undifferenzierten Codierung, das Heinz von Foerster wie folgt beschreibt:

„Das Erstaunliche ist nun, daß jede Sinneszelle, ein Stäbchen oder Zapfen auf der Retina des Auges, eine Haarzelle auf der basilaren Membran des Ohres, eine Druck- oder Schmerzzelle, eine Warm- oder Kaltzelle, alle nur die Sprache >Klick< sprechen: Die physikalische Ursache der Erregung einer Nervenzelle ist nicht in ihrer Aktivität enthalten, sondern ausschließlich die Intensität der Störung, die ihre Aktivität verursachte. Die Signale, die dem Gehirn zugeführt werden, sagen also nicht blau, heiß, cis, au, usw. usw., sondern >Klick, Klick, Klick<, d.h. sie sprechen nur von der Intensität einer Störung und nicht von >was<, nur von >wieviel< und >woher<.“ [1]
Sächsischer Apfelstrudel

Wenn man nun unter Anonymität die Ungreifbarkeit der Zuordnung versteht, ist die undifferenzierte Codierung das Mittel der Anonymität. Betrachten wir in diesem Sinne mal die Wahrnehmung von Apfelstrudel als emergentes Phänomen. Nase, Augen und Mund finden nur durch Maskierung zu anschlussfähiger Kommunikation. Die Synchronität eines beobachteten Etwas – eine synfire chain – ist das Abbild des Apfelstrudels in der internen Repräsentation des Gehirns. Bemerkenswert dabei ist, dass das maskierte Individuelle – etwa eines Rezeptormoleküls der Nase im Vergleich zu den Zellen der Netzhaut – für das Abbild keine Rolle spielt. Es handelt sich um eine gleichgeschaltete Projektion. Die Anonymität ist zwecks Komplexitätsreduktion gewollt. Die Neuronen sind Teil einer klassenlosen Gesellschaft, die sich ereignisabhängig zu synchron aktiven Clustern formt. Erst die Historizität dieser geteilten Synchronität verleiht dem Neuron Individualität. Eine Individualität allerdings, die sich in der vernetzten Anonymität verliert.

Übrigens ist anhand dieses Beispiels gut zu verdeutlichen, in welchem Sinne sich der Begriff der Autopoiesis auf das Gehirn anwenden lässt. Kritiker weisen darauf hin, dass im Gehirn keine neuen Nervenzellen generiert werden und kein System im Sinne von Maturana vorliegt. Ich betrachte nun nicht die Nervenzellen als Systemkomponenten, sondern die synfire chains. Für Gehirnzellen ist schon im letzten Jahren der Nachweis gelungen, dass wiederholtes synchrones Feuern die Synapsen stärkt. Im Wechselspiel der synfire chains erkenne ich ein autopoietisches System.

Ersetzen wir nun den Begriff „Apfelstrudel“ durch „Krieg in Mali“ oder „Sexismusdebatte“ und wenden uns Twitter zu.
Ich nehme folgende Systemzuordnungen vor:

Twitter-Account -> Neuron
a folgt b -> Synapse zwischen a und b
a sendet Tweet x -> Neuron a feuert
b retweetet Tweet x von a innerhalb Zeitraum T -> a und b feuern synchron
c faved Tweet x von a -> Synapse zwischen a und c verstärkt sich (Gedächtnisfunktion)

Diese Tabelle kann natürlich in Bezug auf alle Interaktionsformen ergänzt werden (z.B. auf einen Tweet antworten, einen Account auf eine Liste setzen etc). Betrachten wir nun die Twitter-Diskussion über den Krieg in Mali. Nehmen wir an, ein Politologe A, ein Mediziner B, ein Physiker C und ein Soziologe D beschäftigen sich mit dem Thema und lesen und schreiben Tweets dazu.
Zunächst ist die Rollenzuschreibung natürlich nicht erkennbar. Ein Physiker könnte sich in seiner Kurzbiografie als Soziologie ausgeben – und umgekehrt. Es besteht also eine Analogie zur Situation der oben beschriebenen Nervenzellen. Die Twitterer sind füreinander unbekannt und bilden durch synchrone Interaktion ein autopoietisches Musterbildungssystem. Nun befinden wir uns in einer Meta-Ebene, da manche Twitterer über ein Gehirn verfügen. Gehirne konstruieren interne Repräsentationen, die als Teil eines Dispositivs betrachtet werden können. Hier zeichnet sich auch das qualitativ Neue ab: die Möglichkeit der Teilhabe an einem emergenten Musterbildungsprozess.
Das führt zu folgender These:

Twitter ermöglicht es durch Rollentausch und Anonymität, die interne Repräsentation eines Dispositivs zur Disposition zu stellen.

Letzte Woche konnte im Rahmen der #aufschrei-Debatte der Mechanismus dieser Musterbildungs-Prozesse studiert werden.
Wäre das ohne Twitter möglich gewesen?
Ich vermute, dass die empirische Sozialforschung uns lehren würde, dass über die Beziehung zwischen Mann und Frau vorwiegend nur Männer untereinander und Frauen untereinander diskutieren (und dabei im Dispositiv verweilen). In der ersten Welle des #aufschrei-Diskurses ging es – ganz im Sinne von Heinz von Foerster – nicht um ein „was“ sondern nur um Katgeorien wie „wer“, „woher“, „wieviel“ etc. Konkret wäre die Anzahl der Retweets mit „wieviel“ zu assoziieren. Relevanzzuordnung durch Unbekannte, unter anderem auch durch sich solidarisierende Männer. Durchschnittlich hat ein Twitterer 200 Follower (bzw. er folgt 200 anderen). Oft bilden sich selbstreferentielle Grüppchen, die postironsiche Witze wiederkäuen. Die Wellen der Retweets im Rahmen von #aufschrei haben diese Mikrocluster mühelos übersprungen und temporäre, neue Muster geschaffen. Natürlich haben sich im Rahmen dieser Debatte auch Unbekannte neu vernetzt. Dies ist gleichsam die Gedächtnisspur von #aufschrei. Das soziale System Twitter wurde so für diese Art der Debatte trainiert.

Wo führt das hin? Was ist das emergente Makromolekül von Twitter? Vielleicht das Aufschmelzen des einen oder anderen Dispositivs.

Literatur
[1] von Foerster, H. (1996) „Erkenntnistheorie und Selbstorganisation“, in: Siegfried J. Schmidt (ed.), Der Diskurs der radikalen Konstruktivismus, Frankfurt am Main.

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