Monatsarchiv: Januar 2015

Finslers Mengenlehre – Isomorphie und Logik. Kapitel 1.

Warum sollte man sich im Jahr 2015 noch mit Mengenlehre beschäftigen? Handelt es sich dort nicht vorrangig um recht triviale Strukturen, die einen Philosophen nicht sonderlich interessieren müssen?

Wenn man Glück hat und einen didaktisch begabten Mathematiker wie in diesem Lernvideo von Christian Spannagel findet, dann ist man bereits nach etwa zehn Minuten mit den Grundlagen vertraut.

Dieser wunderbaren Klarheit hat der britischer Philosoph und Mathematiker Bertrand Russell ein jähes Ende bereitet.
Russel konstruierte die „Menge R aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten“ : R := {x | x ∉ x}

Gehört die Menge R nun auch als Element zur Menge R?
Nehmen wir an, es wäre so. Jedes Element hat aber per Definition die Eigenschaft von R zu erfüllen – sich eben nicht selbst zu enthalten:

R ∈ R ⇒ R ∉ R

Nehmen wir an, es wäre nicht so. Dann erfüllt es ja die Eigenschaft und wäre damit per Definition doch ein Element der Menge R:

R ∉ R ⇒ R ∈ R

Beide Gedankengänge zusammengefasst führen zu dieser eigentümlichen Äquivalenz:

R ∈ R ⇔ R ∉ R

Das ist natürlich eine Antinomie, da zwei zueinander in Widerspruch stehende Aussagen gleichermaßen gut begründet sind.
Eine ähnlich paradoxe Struktur begegnete uns schon in dem Beitrag Undenkbare Negation. Über Dedekinds unendliche Systeme.

Eine Ursache dieser Probleme liegt darin, dass man in den Anfangstagen der Mengenlehre jede Art der Definition einer Menge zugelassen hat und somit eine ungeregelte oder unbeschränkte Mengenbildung praktiziert wurde.

Die Gretchenfrage lautet seitdem: Wie kann man eine Mengenlehre gestalten, in der solche Widersprüche nicht mehr vorkommen?
Hier wird es nun richtig spannend.

Denn einer der wenigen Ansätze, die genau das versprechen, ist fast in Vergessenheit geraten. Es handelt sich dabei um die Arbeit Über die Grundlegung der Mengenlehre von Paul Finsler. Wie werden nun im Rahmen einer Serie seine Arbeit im Detail beleuchten.

Ich wurde auf Finsler aufmerksam durch die fabelhafte Dissertation MATHEMATISCHER PLATONISMUS. Beiträge zu Platon und zur Philosophie der Mathematik. von Gregor Schneider. Dort findet sich in Kapitel 5 eine Zusammenfassung der Finslerschen Mengenlehre. Schneider bringt die Besonderheit dieses Ansatzes gut auf den Punkt:

„Was den Mathematiker erstaunt, den Logiker misstrauisch und den Philosophen interessiert macht, sind die Beweise zur Widerspruchsfreiheit und Vollständigkeit der Axiome.“
Gregor Schneider

Im Zentrum der Finslerschen Mengenlehre steht der Begriff der Isomorphie. Gerade dieses Merkmal ermöglicht es uns in späteren Kapiteln eine Brücke zur Cognitive neuroscience zu bauen.

Heute geht es um die einfachsten Grundbegriffe.
Betrachten wir die Element-Relation:

7 ∈ N
N ∋ 7

Die obere Zeile bedeutet: die Zahl 7 ist Element der Menge der natürlichen Zahlen. Die zweite Zeile bedeutet: die Menge der natürlichen Zahlen enthält die Zahl 7. Dies suggeriert eine Symmetrie – eine Struktur, bei der Menge und Element austauschbar sind.

Hier setzt Paul Finsler eine erste Unterscheidung an.
Die klassische Relation schreibt er mit dem griechischen Buchstaben ε:

7 ε N

Er definiert nun den zweiten Fall als Beziehung β einer Menge zu ihren Elementen:

N β 7

Ist das nun lediglich eine andere Schreibweise oder verbirgt sich hier etwas Grundsätzliches?
Ein kleiner philosophischer Exkurs mag aufweisen, dass es sich tatsächlich um eine grundsätzliche Fragestellung handeln könnte. Betrachten wir doch „N β 7“ einfach mal als einen Satz. Nicht als Satz im mathematischen Sinne, sondern als grammatischen Satz mit einer Struktur

Subjekt – Prädikat – Objekt.

Das führt zu folgender Äquivalenz:

Menge ⇔ Subjekt
Element ⇔ Objekt

Nun erscheint es nicht ganz klar, in welchem Sinne Mengen Subjekt sein könnten. Im Sinne von Cantor ist eine Menge M eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten.
Damit kann man klarer formulieren: Eine Menge ist eine Operation (hier: Zusammenfassung) eines Subjekts.

Betrachten wir zwei Beispiele:
1. Die Menge H der Haustiere:
H := {Hund, Katze, Wellensittich}
2. Die Menge W des Waldes:
W := {Baum_1, Baum_2, Baum_3, … , Baum_7345}.

Das erste Beispiel deutet bereits an, dass eine Zusammenfassung auch eine Abstraktion darstellen kann. Im zweiten Fall fragt sich, ob der Wald W im Prinzip identisch mit den vielen Bäumen ist.
Dazu Finsler:

„Noch weniger aber darf man eine Menge, die viele Elemente enthält, mit dem Inbegriff aller dieser Elemente verwechseln. „Viele Dinge“ sind nicht ein Ding und dürfen nicht mit einem Ding identifiziert werden. … Ein Wald, als Einheit aufgefaßt, ist nicht identisch mit den Bäumen, aus denen er „besteht“: man geht zwar in den Wald, aber nur zwischen die Bäume. [1]“ (Seite 687)

Es zeigt sich also, dass Cantors Begriff der Zusammenfassung für den Sachverhalt zu schwach ist. Daher fordert Finsler:

„Es soll eine Menge nicht eine Zusammenfassung sein, sondern ein ideelles Ding, das gewissen Axiomen genügt, das aber in enger Analogie steht mit den anschaulichen Zusammenfassungen, und zwar insbesondere mit denen, die oben als „reine Mengen“ bezeichnet wurden.“ (Seite 690)

Diese allerersten Gedanken mögen illustrieren, was Finsler im Sinne hatte: ein klare Struktur, bei der phantasievolle Konstruktionen wie die Russell-Menge ausgeschlossen sind.

Im Prinzip strebt Finsler eine Logik an, die das Denken in seiner Gesetzmäßigkeit isomorph abbildet. In diesem Zusammenhang relevant ist das Projekt von Uwe Petersen [2] zur Formalisierung der Hegelschen Logik. Das Projekt führte nicht zum Erfolg und es könnte sich lohnen, hier genauer nach den Gründen zu fragen. Vielleicht lohnt es sich, einen Schritt vor Hegel zurückzugehen und die Subjekt-Objekt-Relationen in Schellings System des transzendentalen Idealismus zu betrachten (siehe dazu auch Quantenmechanische Deduktion des transzendentalen Idealismus.

In den nächsten Kapiteln betrachten wir die Axiome der Finslerschen Mengenlehre.

Anmerkungen
[1] Das erinnert an die Segeltuch-Metapher im PARMENIDES. Als Platoniker dürfte Finsler die Textstelle gekannt haben.
[2] U. Petersen (2009): 35 Thesen zur Grundlegung einer formalen dialektischen Logik – nebst Kommentaren. DILEMMATA: Jahrbuch der ASFPG (4), 135-207.

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Kleine Küchenweisheiten – Schopenhauer und Raktabija

Heute wollen wir einen Eintopf Raktabija zubereiten und uns ganz nebenbei über Arthur Schopenhauer unterhalten.
Das Jahr 2014 war von Verlusten geprägt. Martin Heideggers Stern ist endgültig untergegangen und der Komet Quentin Meillassoux verglüht bereits. Schopenhauer und Nietzsche sind angeschlagen, halten sich aber noch wacklig stehend in den Seilen.

Schopenhauer also.

Schopenhauer

Wir könnten es uns leicht machen und einfach eine seiner Lieblingsspeisen kochen – ein feines Chaudeau (süßer Weinschaum aus Zucker, Eigelb und Weißwein) zubereiten. Das wäre wohl lecker, brächte uns in Sachen Philosophie nicht weiter.

Schopenhauer war ein Anhänger asiatischer Religionen – da bietet sich die fernöstliche Küche an. Im 19. Jahrhundert kamen asiatische Religionen quasi in Mode – es wurde ein verklärtes, idealistisches Bild gezeichnet. Eine Unterscheidung zwischen Buddhismus und Hinduismus wurde zum Beispiel eher selten getroffen.
Uns interessieren hier besonders die Upanischaden, eine Sammlung philosophischer Schriften des Hinduismus.

Kulinarisch geht es um einen asiatischen Eintopf mit einer sehr scharfen Sauce, die aus Kokosmilch zubereitet wird. Jede neue Kreation gewährt die Freude, einen Namen für das Rezept auswählen zu dürfen. Schärfe ist bei mir assoziiert mit Pizza Diavolo oder Pizza Vulcano. Der Name sollte auch die dunkle Seite von Schopenhauers Welt als Wille abbilden.
Die Wahl fiel auf den Gott Raktabīja [rakta=Blut, bīja=Saat], von dem es heißt das aus jedem seiner Blutstrofen aus einer Wunde neue Raktabījas entstehen. Erst die Göttin Kali („Die Schwarze“) konnte ihn stoppen, indem sie seine Bluttropfen aufleckte.
Jedes Tröpfchen zählt, könnte man sagen. Mit dieser kulinarischen Metapher geht’s ans Werk.

Wir übernehmen Elemente der thailändischen Küche, wohl wissend, das nur 0,1 % der Bevölkerung dort (etwa 65.000) Hindus sind. Unsere Zutaten sind Kartoffeln, Karotten, Schalotten, geschnetzteltes Hühnerbrustfilet und für eine feine Fruchtnote eine Kiwi.

eintopf-start

Kartoffeln und Karotten werden vorgebraten wie in Kleine Küchenphilosophie. Oder: Tartufolo und Heidegger beschrieben.

Das wichtigste am Eintopf ist ohnehin die Sauce. Basis ist eine 165-ml-Dose Kokosnussmilch. Hier gibt es nicht selten eine Überraschung: nach dem Öffnen der Dose zeigt sich, dass die Milch eine recht feste Konsistenz hat. Kokosöl hat einen Schmelzpunkt zwischen 18 und 23 °C und die Dose sollte im Zweifelsfall vorher im Wasserbad leicht erhitzt werden. Nur was macht man nun mit der bereits geöffneten Dose? Hier gibt es nur zwei Möglichkeiten: entweder verzweifeln oder einen lustigen Tweet darüber schreiben.

In einer idealen Welt ist die Kokosnussmilch schön flüssig und wir schöpfen zwei Esslöffel von der oberen Schicht ab und erhitzen in einem kleinen Töpfchen (maximale Power). Nach einer Minute rühren wir einen Esslöffel Tikka Masala Paste unter. (Dies ist der neuralgische Punkt der ganzen Aktion). Dann die Hitze reduzieren und nach und nach die restliche Kokosmilch und ein halbes Pilsglas Wasser unterrühren. Nach fünf Minuten Rawit Chilis zufügen und wenige Minütchen ziehen lassen. Dann das oben gebratene Zeugs zufügen – fertig.

eintopf-ende

Guten Appetit!

In einer idealen Welt durchdringt unser Schärfegott Raktabija die gesamte Speise und nach und nach auch unseren Körper.
Betrachten wir dazu einen Auszug aus den Upanischaden:

DIE LEHRE DES SHANDILYA
»Ja, mein Lieber«, sprach er. »Bringe mir von da eine Nyagrodhafrucht.«
»Hier ist sie, Ehrwürdiger.«
»Spalte sie.«
»Sie ist gespalten, Ehrwürdiger.«
»Was siehst du da?«
»Ganz feine Körner, Ehrwürdiger.«
»Spalte eines von diesen.«
»Es ist gespalten, Ehrwürdiger.«
»Was siehst du da?«
»Nichts, Ehrwürdiger.«
Der sprach zu ihm: »Der feinste Stoff, den du nicht wahrnimmst, aus dem besteht so der große Nyagrodhabaum. Glaube, mein Lieber, dieser feinste Stoff durchzieht dies All, das ist das Wahre, das ist das Selbst, das bist du (tat twam asi) , Shvetaketu.«

Der Text bezieht sich auf die Banyan-Feige. Der Banyanbaum wird von Hindus als heiliger Baum verehrt.

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{Photo taken by User:Ahoerstemeier on April 11, 1998 with a Olympus Mju 2.}

Der Text ist eine Absage an das (klassische) materielle Weltbild. Das tat twam asi war für Schopenhauer eine Brücke zum Panpsychismus. Was ist nun davon zu halten?
Für die moderne Physik ist die Sichtweise der Unpanischeden keineswegs fremd. Die Körner der Banyan-Feige wären als Schrödinger-Wellenfunktion Ψ darzustellen und das Schmecken des Körnchens wäre eine Messung der Amplitude |Ψ|². So auch die Körnchen aus unseren Rawit Chilis. Ein Konzert sich überlagernder Wellenpakete mit der Melodie tat twam asi.

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Kleine Küchenphilosophie. Oder: Tartufolo und Heidegger

Liebe geht durch den Magen – wie könnte es bei der Liebe zur Weisheit anders sein?

Heute möchten wir aus Doldenblütlern und Nachtschattengewächsen ein schmackhaftes Mahl bereiten und uns ganz nebenbei über Philosophie und die Welt unterhalten.
Was haben die berühmten Philosophen eigentlich gegessen? Oft bleibt von einem Menschen nur die Liste seiner Werke zurück. »Sein und Zeit«, »Kritik der reinen Vernunft« oder »De la causa, principio e uno« sind klangvolle Titel – doch welche Sorte Fleisch wurde wie zubereitet zu welchem Wein genossen? Und das Kochen endet ja nicht mit dem Kochen. Welche Anekdoten gibt es über das eine oder andere Abendessen zu berichten?

Heute beginnen wir mit Martin Heidegger, über den ich bereits in Der Fall Heidegger. Ein Urteilsspruch. und Gehirn am Ungrund. Eine kleine Heidegger-Exegese berichtete. Doch dazu später.

Die Nachtschattengewächse werden repräsentiert durch Bratkartoffeln.

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{Nachtschattengewächse, zubereitet. Vorschau}

Für eine Portion wählen wir zwei mittelgroße Kartoffeln der Sorte Belana. Die Sorte kann man sich gut merken, indem man die Chefingenieurin an Bord der Voyager assoziiert.
Wir teilen die Kartoffeln in Viertel und schneiden diese in recht dünne Scheiben.
Der Clou besteht nun darin, dass man die Kartoffeln vor dem Braten in eine Schale mit kaltem Wasser legt, denn wir wünschen Knusprige Bratkartoffeln.

Nun haben wir drei Minuten, um über das Deutschland dieser Tage nachzudenken. Es wird viel über deutsche Kultur und Überfremdung gesprochen. Wie steht es da eigentlich mit der Kartoffel? Als Abonnent der Zeitschrift Economic Botany haben wir noch gut den
Aufsatz Potato remains from a late pleistocene settlement in southcentral Chile in Erinnerung, der die heutige Republik Chile als Ursprungsland der Kartoffel benennt. Vielleicht hat das friedliche Volk der Pehuenchen, die sich unter anderem von piñones (Pinienkerne) ernährt haben, die Kartoffeln als Nahrung entdeckt.
Die Männer dieses Volkes trugen Röcke statt Hosen und Ohrringe. Diese Menschen wurden Opfer von Überfremdung. Ihr Land wurde von
Einwanderern besiedelt, die zu großen Teilen aus Deutschland stammten.

Nun können wir die Kartoffeln abtropfen lassen und ggf. noch den „Scharfmacher“ aus Grönemeyers Bochumer Lieblingscurrywurstbude zufügen:
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Wenn die Kartoffelscheiben wirklich dünn sind, reichen fünf bis sechs Minuten bei maximaler Hitze, um in der Pfanne den ganz oben abgebildeten Zustand zu erreichen.

Als Vertreter der Doldenblütler nehmen wir zwei große Mohrrüben, schälen diese und schneiden sie in Scheiben. Die angebratenen Kartoffeln werden in einem Schälchen zwischengelagert. Platz für die Karottenscheiben:
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Neben Zwiebeln runden Rawit Chilis aus dem Senegal unsere Speise ab. Während die Karotten schmoren, halten wir kurz inne. Senegal? Lebensmittel quer über Kontinente transportieren? Warum nicht aus Holland?
Bekanntlich liegt die Republik Senegal im Human Development Index nur auf Platz 163 von 187. Da darf doch die Illusion erlaubt sein, dass vom Einkauf bei real,- wenigstens ein paar Cent bei der richtigen Person landen. Senegal darf auch nicht mit einem benachbarten Schurkenstaat assoziiert werden. Präsident Chérif Macky Sall studierte Geologie, ist verheiratet und hat drei Kinder.

Bevor die Möhrenscheiben anbrennen, schneiden wir (hier: vier) maximal zwei Rawit Chilis in Stückchen.
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Länger als zehn Minuten sollten die Doldenblütler nicht brauchen. Öfters wenden und überhaupt die Szenerie im Auge behalten.
Dann Zwiebeln, angebratene Kartoffeln und die Rawits hinzugeben.

Wenn’s gut läuft sollte unsere Mahlzeit in etwa so aussehen:

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Guten Appetit!

Nun, beim Essen folgt die oben angekündigte Anekdote.
Es ist meines Erachtens recht schwer, die »richtige« Haltung zu Heidegger zu finden. Daher ist es recht hilfreich, die Berichte seiner Zeitgenossen zu studieren. Besonders vertrauenswürdig ist hier der österreichische Philosoph Günther Anders. Hier sein Bericht über ein Abendessen mit Martin Heidegger:

Er habe zwar, so berichtet Günther Anders, bei Heidegger studiert, persönlich habe er ihn aber kaum gekannt. Einmal habe er in Marburg bei Heideggers übernachtet. Nach einem einfachen Nudel-Nachtessen ließ sich die Unterhaltung zu Beginn gut an. Anders zitierte, ohne den Autor zu nennen, Voltaire: „Es genügt nicht zu schreien, man muss auch Unrecht haben“, ein Zitat, das sogar Heidegger, den Humorlosen, amüsierte. Als Anders nun erklärte, das Zitat stamme von Voltaire, machte er allerdings ein schiefes Gesicht. Der Abend war aber dann vollends verdorben, als Anders fortfuhr, natürlich gelte ganz symmetrisch auch das Wort: „Es genügt nicht zu murmeln, man muss auch recht haben“. Während Frau Heidegger nichts verstand, blickte Martin Heidegger Anders einen Moment lang hasserfüllt an. War es doch seine Taktik, durch nahezu unhörbares Murmeln eine totale Stille im Saal zu erzwingen und dadurch den Hörern einzureden, dass alles, was sie mindestens akustisch mitkriegten, auch „unverborgen“, d. h. die Wahrheit sein müsste.
Quelle

Während unsere gustatorische Wahrnehmung durch unzählige Geschmacksknospen angereichert wird, können wir nun auch unserer Wahrnehmung von Martin Heidegger eine Facette zufügen.

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