Monatsarchiv: Februar 2015

Finslers Mengenlehre – Isomorphie und Logik. Kapitel 4.

Wir sind zu folgendem Resultat gekommen:
Ein Element der Russell-Menge entsteht, wenn ein irreduzibles Abstraktum als Konkretum gesetzt wird.

Mit einfachen Worten ausgedrückt, bedeutet das, dass man Mengen und Elemente nicht immer auf eine Ebene setzen kann. Es kann zu Widersprüchen führen, wenn man bestimmte Mengen wie ein Element behandelt.

Es ist also (wie in der Grafik in Kapitel 3 angedeutet) eine Art Meta-Ebene zu berücksichtigen.
Dazu führt Finsler den Begriff des Systems. Das System umfasst Mengen und Elemente, mit denen wir operieren. Das System selbst allerdings taucht nicht als Element auf.

Wir kommen nun zum ersten Axiom.

I. Axiom der Beziehung
Für beliebige Mengen N und M ist stets eindeutig entschieden, ob M die Beziehung β zu N besitzt oder nicht.

Nach den etwas verwirrenden Antinomien ist das nun mal ein Satz von absoluter Klarheit. Wir betreiben Mathematik in einem Universum (dem System Σ) geklärter Beziehungen.

Als Anhang zum ersten Axiom noch folgende Definitionen:

Wenn eine Menge M zu einer Menge A die Beziehung β besitzt, oder kurz, wenn M β A gilt, so soll A ein Element von M heißen.

Ein Ding von Σ, welches die Beziehung β zu keinem Ding besitzt (nicht nur zu keinem andern), soll eine Nullmenge heißen.

Ein Ding von Σ, welches die Beziehung β allein zu einer Nullmenge besitzt, welches also die Nullmenge als einziges Element enthält, werde als Einsmenge bezeichnet.

Damit haben wir schon einiges an Rüstzeug für die Mengenlehre zusammen.
Welchen Sinn macht aber nun das Axiom? Wird damit nicht schon etwas zu viel vorausgesetzt?
Man spürt bei Finsler sehr stark das Bemühen um Klarheit und den Willen Antinomien zu vermeiden. Ob es Alternativen zu Axiom I gibt, kann hier nicht weiter erörtert werden.

Spannend aber wird es, wenn wir Finslers Mengenlehre mit dem Blick der Neurowissenschaften betrachten.
„Mengen“, „Zusammenfassungen“ oder „Abstraktionen“ werden in den Neurowissenschaftlern durch Gruppen von Neuronen (neural assemblies) repräsentiert, die sich in ihren Aktivitätsmustern (synfire chains) synchronisieren.

Wenn wir einfache Sinneseindrücke (etwa (a) die Farbe rot und (b) die Form rund) als Elemente betrachten, so gibt es eine neural assembly N (hier als Menge aufgefasst), die a und b als Elemente enthält und das abstrakte Konzept „Clownsnase“ repräsentiert. Geltung definiert sich aus der neuronalen Verdrahtung heraus und ist ganz pragmatisch aufzufassen.

In diesem Sinne passt Finslers Mengenlehre sehr gut zu einer Neuro-Logik im Sinne von Olaf Breidbach:

„Die soweit sichere Realität weiß sich demnach zunächst zurückgesetzt. Aus ihren Bestimmungen in Geltung gesetzt, findet sich die Welt in ihren Konturierungen allein in einer internen Realität, deren Bestimmtheit die Rationalität eines bloß Funktionalen, die Beliebigkeit eines reinen Pragmatismus, in einen festen Geltungshorizont überführt.“ [1], Seite 167

Literatur
[1] Breidbach, Olaf: Deutungen. Zur philosophischen Dimension der internen Repräsentation. Velbrück Wissenschaft. Weilerswist 2001. 194 S.

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Finslers Mengenlehre – Isomorphie und Logik. Kapitel 3.

Womit soll die Mathematik beginnen? Was sind die Fundamente, die unumstößlichen Gedanken, die als Grundlage dienen sollen? Eine Möglichkeit besteht darin, die Aussagenlogik als Basis zu nehmen und darauf dann eine Mengenlehre zu errichten. Was immer bei der Mengenlehre dann als Ergebnis herauskommt, die Prinzipien der Aussagenlogik können nicht mehr hinterfragt werden. Aber sind nicht die elementaren Inhalte des Denkens die „Dinge“ und „Mengen“?

Hier ist der Zugang anders. Wir beginnen bei Null und haben am Anfang nichts anderes zur Verfügung als unseren gesunden Menschenverstand und ganz wenige – aber unverzichtbare – Prinzipien des Denkens.

Wir befinden uns noch immer im Jahr 1926 und versetzen uns in die Position von Paul Finsler. Für ihn ist dieses unverzichtbare Prinzip das tertium non datur, wie er gleich zu Beginn der Arbeit klarstellt.

„In dieser Arbeit wird der Standpunkt eingenommen, daß die exakte Mathematik so weit reicht, wie der Satz vom ausgeschlossenen Dritten.“

Neben diesem Grundprinzip untersucht der Platoniker Finsler die Struktur der naiven Mengenlehre, die nicht klar zwischen Dingen und Mengen unterscheidet. Die nachstehende Grafik fasst die Erkenntnisse aus Kapitel 1 und 2 zusammen und illustriert dabei den Unterschied von β und ∈:
Diagramm Finsler

Betrachten wir die folgenden drei Mengen:
A= {Hund}
B= {Katze}
C= {Hund, Katze}

Anstelle des Buchstabens C hätten wir auch das Wort HAUSTIER zur Bezeichnung der Menge wählen können. Offenbar ist C aus den Elementen der Mengen A und B gebildet.

Finsler formuliert eine der Forderungen der naiven Mengenlehre:

„Es soll zu beliebig gegebenen Dingen stets ein eindeutig bestimmtes Ding existieren, welches die Beziehung β zu den gegebenen Dingen und nur zu diesen besitzt.“

Übertragen auf unser Beispiel heißt das, es soll auch ein Ding namens HAUSTIER existieren. Wie im Schaubild dargestellt, ist HAUSTIER ein ideelles Ding – quasi eine platonische Idee. Das, was ontisch existiert, nennt Finsler eine Gesamtheit. „Ein Hund und eine Katze“ bilden also so eine Gesamtheit.

Nun ist es keineswegs unproblematisch, wenn eine beliebige Zusammenfassung als Ding behandelt wird. Betrachten wir dazu Finslers Analyse der Antinomien der naiven Mengenlehre:

„Sind a und b irgend zwei verschiedene Dinge des Bereichs, so müßten in dem Bereich drei verschiedene Dinge A, B, und C existieren, derart, daß A die Beziehung β nur zu a, B zu b und C zu a und b besitzt. Dann kann aber nicht gleichzeitig A β A, B β B und C β C gelten, denn daraus würde A=a, B=b und C= a oder b folgen, während doch C von A und B verschieden sein muß. Es wären also sicher Dinge vorhanden, welche die Beziehung β nicht zu sich selbst besitzen, der Bereich kann aber wieder kein Ding N enthalten, daß die Beziehung β zu allen und nur zu diesen Dingen besitzt.“

Wichtige Anmerkung: Finslers Formulierung, es gibt ein A, für das nicht A β A gilt, entspricht der Aussage, es gibt ein A für das gilt: A ∉ A (siehe dazu Russells Antinomie zu Beginn von Kapitel 1).

Der Widerspruch beginnt also damit, dass wir unsere Menge HAUSTIER als Ding C auffassen.

Im Prinzip generiert Finsler ausgehend von zwei Elementen (a und b) eine Russel-Menge C.

A besitzt die Beziehung nur zu a.
B besitzt die Beziehung nur zu b.
C besitzt die Beziehung nur zu a und zu b.

Interpretieren wir nun ein Element als eine Frage und die Beziehung als eine Antwort. Die Zugehörigkeit zu einer Menge bedeutet ja ganz elementar, dass eine Eigenschaft – ein Attribut – zugewiesen wird.

A ist eine Antwort nur auf a.
B ist eine Antwort nur auf b.
C ist die eine Antwort nur auf a oder b.

HUND ist eine Antwort nur auf Hund.
KATZE ist eine Antwort nur auf Katze.
HAUSTIER ist eine Antwort auf Katze und eine Antwort auf Hund.

Die Kategorie HUND ist nun selbstreferentiell definiert. In ausführlicher Notation:

Die Antwort auf Hund ist HUND.
Die Antwort auf HUND ist Hund.
HUND=Hund

HUND β HUND

Analoges gilt auch für die Kategorie KATZE mit dem Resultat:

KATZE β KATZE

(Zurück zu Finlers Ausführung haben wir also bis hier: A β A und B β B.)

Nun ist HAUSTIER entweder die Antwort auf Katze oder auf Hund.
HAUSTIER ist nicht die Antwort auf irgendeine Frage C.

KATZE, HUND und HAUSTIER sollen aber verschiedene Dinge sein.

Können also A β A und B β B und C β C gleichzeitig gelten?

Haustier kann eben nicht die Antwort auf Haustier sein, sondern nur auf Katze oder Hund.
Dann kann C β C nur C=Katze oder C=Hund bedeuten.

HAUSTIER ist nicht selbstreferentiell definiert – es gilt eben nicht C β C – und damit Element der Russell-Menge.

Das ist natürlich bemerkenswert. Wir wurden also Zeuge der Entstehung einer Russell-Menge. Was genau ist da nun passiert?
Offenbar stellt die Kategorie HAUSTIER ein Abstraktum dar.
Technisch gesehen gilt das auch für die Kategorie HUND, die allerdings durch ein einzelnes Konkretum (Hund) definiert ist. Wegen HUND=Hund haben wir es also mit einem Abstraktum zu tun, das sich auf ein Konkretum reduzieren lässt.
HAUSTIER (oder die Menge C in Finslers Beispiel) ist ein irreduzibles Abstraktum.

Wir stellen also fest:

Ein Element der Russell-Menge entsteht, wenn ein irreduzibles Abstraktum als Konkretum gesetzt wird.

Ein anderes Wort für ein irreduzibles Abstraktum wäre platonische Entität.

Im nächsten Kapitel wenden wir uns endlich dem ersten Axiom zu.

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Finslers Mengenlehre – Isomorphie und Logik. Kapitel 2.

Wir schreiben das Jahr 1926. Paul Finsler hat gerade den ersten Teil seiner Mengenlehre veröffentlicht. Die Russelsche Antinomie war zu diesem Zeitpunkt schon lange bekannt. Mathematiker wie Ernst Zermelo beschäftigten sich zu dieser Zeit dennoch weiter mit Mengen, die sich selbst als Element enthalten (x ∈ x). Auch Finsler geht in seiner Arbeit auf diese Konstrukte ausführlich ein [1].

Wir wollen genauer verstehen, wie man sich eine Menge, die sich selbst als Element enthält, vorstellen kann. Da wir dazu den Begriff der Isomorphie benötigen, sei hier schon vorab Finslers 2. Axiom zitiert:

II. Axiom
Isomorphe Mengen sind identisch.

Wörtlich übersetzt heißt das: Mengen, die die gleiche Gestalt haben, sind identisch. Finsler baut seine Definition auf den Begriff der umkehrbar eindeutigen und beziehungstreuen Abbildung auf [2].
Betrachten wir dazu die Mengen A und B:
A = {1, 2, 3, 4}
B = {1, 4, 9, 16}
Die Quadratfunktion ordnet hier jedem Element von A genau ein Element von B zu und umgekehrt ordnet die Wurzelfunktion jedem Element von B genau ein Element von A zu.
Es kommt also auf Eindeutigkeit und Vollständigkeit der Beziehung an.

Im ersten Kapitel seiner Arbeit behandelt Finsler die Antinomien. Die naive Mengenlehre fordert, dass zu beliebig gegebenen Dingen stets eine eindeutig bestimmte Menge existiert, die die Beziehung β zu den gegebenen Dingen und nur zu diesen besitzt. Dies führe zum Widerspruch:

„Ist nämlich irgendein Bereich von Dingen vorgelegt, zwischen denen eine einmehrdeutige Beziehung β besteht, so nehme man diejenigen Dinge A des Bereichs, welche die Beziehung β nicht zu sich selbst besitzen, für die also nicht A β A gilt. Dann gibt es in dem Bereich kein Ding N, welches die Beziehung zu diesen und nur diesen Dingen besitzt, denn sowohl die Annahme N β N als auch die gegenteilige Annahme führt sofort zum Widerspruch.“

Aufmerksame Leser erkennen hier eine Variante der in Kapitel 1 besprochenen Russelschen Antinomie.
Sind damit die ominösen Mengen, die sich selbst enthalten, vom Tisch? Nicht ganz, wie Finsler im nächsten Absatz seiner Erörterung darlegt:

„Wenn die Forderung nur für den Fall zu gelten braucht, daß die Anzahl der gegebenen Dinge von Null verschieden ist, so ist sie erfüllt für einen Bereich, der ein einziges Ding J enthält, das die Beziehung β zu sich selbst besitzt.“

Für so eine J-Menge gilt dann: J = {J} bzw. J β J.
Aber was soll man sich darunter nun konkret vorstellen?

Betrachten wir mal die Menge der Dienstage:

D = {26.04.2011, 03.05.2011, 13.09.2011, 11.09.2001, …}

Ein singuläres Datum ist natürlich der 11. September 2001. Können wir uns also eine Menge 9/11 vorstellen, die durch dieses eine Element umfassend definiert ist?
Ist 9/11 = {11.09.2001) eine J-Menge?
Der Terroranschlag auf das Redaktionsbüro von Charlie Hebdo am 7. Januar 2015 wurde von einigen Journalisten der gleichen Kategorie wie 9/11 zugeordnet- wie schon zuvor Attentate in London und Madrid.
Es gibt also eine Zusammenfassung
9/11 = {11.09.2001, 07.01.2015, …} und somit keine Übereinstimmung von Menge und Element.

Wir hatten uns eine Menge als Operation eines Subjekts vorgestellt. Und diese Operation soll nun umfassend, eindeutig und selbstbestimmt sein. Offenbar sind solche J-Mengen im Universum eher selten anzutreffen.

Ein Kandidat stammt aus der Theologie:
GOTT = {Gott}
bzw.
GOTT β Gott

Ein weiterer Kandidat wäre das Ich-Bewusstsein im Sinne von Fichte:

ICH = {Ich}
bzw.
ICH β Ich

Damit könnte man zu einer Formalisierung von Fichtes Wissenschaftslehre ansetzen [3]:
∃ Ich | ICH β Ich

Bemerkenswert ist nun, dass bei dieser Art der Darstellung GOTT und ICH im Sinne von Finsler isomorph – und gemäß Axiom II identisch – sind. Der deutschen Idealismus hat also unter dem Strukturaspekt stets in Sichtweite der Theologie verweilt.

Im nächsten Kapitel beenden wir die Betrachtung der Antinomien.

Note Added in Proof:
Nach unserer Interpretation aus Kapitel 1 (Element=Objekt, Menge=Subjekt) läuft die Identität von Menge und Element auf die Identität von Objekt und Subjekt hinaus. Beispiele für Subjekt-Objekte sind Gott und Ich. (Ggf. wäre hier noch Goethes Naturbegriff zu ergänzen).

Anmerkungen
[1] Heue werden solche Konstrukte i.A. durch das Fundierungsaxiom ausgeschlossen.
[2] Die heute geläufigen Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv kamen erst in den 30er Jahren auf.
[3] Der Existenz-Quantor ∃ wäre mit der Forderung assoziiert, dass das Ich zur intellektuellen Anschauung befähigt ist.

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