Monatsarchiv: März 2015

Finsler, Gödel und Penrose: Die Grenze der formalen Mathematik

„a remarkable, if far from adequate, anticipation“
Alonzo Church

Wie bereits früher erwähnt, antizipierte der Mathematiker Paul Finsler – fünf Jahre vor Kurt Gödel – in seiner Arbeit Formale Beweise und die Entscheidbarkeit dessen Unvollständigkeitssatz. Der Aufsatz ist übrigens – zeitgleich mit der Mengenlehre – am 28. November 1925 bei der Mathematischen Zeitschrift eingegangen.

Finsler geht von Hilberts Position aus, dass mathematische Beweise streng formalisiert gedacht werden, als konkret aufgeschriebene, aus bestimmten Zeichen zusammengesetzte Figuren.
Finsler betrachtet die formale Mathematik als ein System S mit einem Wörterbuch B.

Er definiert:

„Irgendein Ding soll endlich definierbar heißen, wenn es eine endliche Zusammenstellung von Zeichen des Systems S gibt, von der Art, daß der vermittels B festzustellende Sinn dieses Ding eindeutig festlegt.“

Für die weitere Betrachtung müssen wir noch den Begriff der Antidiagonalfolge einführen.
Gegeben sei eine Liste von Dualfolgen:
Folge 1: 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 ….
Folge 2: 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 ….
Folge 3: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ….
Folge 4: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ….

Folge n: 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ….

Wir notieren jeweils die nte Stelle von Folge n und erhalten die Abfolge:
0 0 0 1 …
Durch vertauschen von 0 und 1 erhalten vier die ersten vier Ziffern der Antidiagonalfolge:
1 1 1 0 …

Man beachte, dass die Antidiagonalfolge offenbar endlich definierbar ist.

Finsler definiert nun weiter:

Ein formaler Beweis ist eine endliche Kombination von Zeichen des Systems S von der Art, daß der vermöge B festzustellende Sinn einen logisch einwandfreien Beweis ergibt.

Nun gibt es unter den Dualfolgen sicher einige, in denen die Ziffer 0 unendlich oft vorkommt und einige, bei denen das nicht zutrifft. Für jede der Folgen sei ein formaler Beweis gegeben. Wir können also jeder Folge einen Beweis zuordnen.

Nehmen wir an, unser mathematisches Wörterbuch B enthalte alphabetisch geordnete Zeichen:
B= { a, b, c, d, z, …}, dann kommen wir zu einer Liste von Dualfolgen und Beweisen, die in etwa wie folgt aussehen könnte:

Zeile 1: Beweis 1: a f s t Folge 1: 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 ….
Zeile 2: Beweis 2: s w a g Folge 2: 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 ….
Zeile 3: Beweis 3: a v c s Folge 3: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ….
Zeile 4: Beweis 4: b v q w Folge 4: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ….

Selbstverständlich kann es für eine Dualfolge auch mehrere Beweise geben.

Nun können wir uns alle derartigen Beweise aus dem System S mit dem endlichen Zeichenvorrat B als abzählbare Reihe sortiert vorstellen. (Zum Beispiel zunächst nach Länge des Beweises und bei gleicher Länge alphabetisch sortiert.)
Wie gesagt treten einzelne Folgen sicherlich mehrfach auf, wenn es mehrere Beweise gibt, z.B.:
Zeile 9: Beweis 5: b v u w Folge 4: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ….

Die komplette Liste der Beweise stellt sozusagen das formelle Wissen aus System S dar.

Der Clou besteht nun darin, dass Finsler zu dieser Liste die Antidiagonalfolge bildet und dann den folgenden Satz aufstellt:

„In der soeben definierten Antidiagonalfolge kommt die Zahl 0 nicht unendlich oft vor.“

Nun suchen wir in der Liste unserer Beweise im System S vergeblich nach der Antidiagonalfolge – sie ist ja gerade so konstruiert, dass sie mit keiner der bestehenden Folgen übereinstimmt. Der Satz ist also formal nicht entscheidbar.

Und dennoch führen uns logische Überlegungen dazu, dass der Satz falsch ist. Man stelle sich etwa alle Folgen vor, die ab einer Stelle j nur noch die Ziffer 1 wiederholen. Dies führt in der Antidiagonalfolge zur Ziffer 0.
Finsler betrachtet das Beispiel einer Folge, die nur aus 1en besteht und bei der sich mit „beliebig vielen Worten“ der Beweis führen lasse. Eine endlos lange Geschichte über einen einfachen Sachverhalt sozusagen – in unendlich vielen Variationen. Dann kommt die Folge 1 1 1 1 1 1 1 … natürlich unendlich oft in unserer Auflistung vor und die Antidiagonalfolge muss unendlich oft die Ziffer 0 enthalten.

Es gibt aber keinen formalen Beweis dafür und keinen formalen Beweis dagegen, d.h. der Satz ist formal widerspruchsfrei.

Finsler kommt zu dem Ergebnis:

„Es gibt also tatsächlich einen formal darstellbaren Satz, der formal widerspruchsfrei, aber logisch falsch ist.“

Der Platoniker Finsler hat in unserer heutigen Zeit in dem Mathematiker Sir Roger Penrose einen Seelenverwandten. Penrose bespricht im 4. Kapitel seines Werk „The Emperor’s New Mind“ (deutsche Ausgabe“Computerdenken“) den Gödelsche Unvollständigkeitssatz und seine Konsequenzen.

Er stellt nach Besprechung des Satzes fest:

„Wir haben eine wahre Aussage entdeckt, die keinen Beweis innerhalb des Systems besitzt!“ (Seite 105)

Penrose sieht Gödels Entdeckung als Beleg für einen Wahrheitsbegriff jenseits des Formalen:

„Das vorgebliche Desinteresse der Formalisten an ‚mathematischer Wahrheit‘ erscheint mir als sehr eigenartiger Standpunkt für eine Philosophie der Mathematik.“(Seite 106)

Penrose zitiert Finsler übrigens nicht, sondern setzt direkt bei Gödel an. Dennoch ist er Finsler in seiner Schlussfolgerung sehr nah:

„Mathematische Wahrheit ist etwas, das über bloßen Formalismus hinausgeht.“(Seite 108)

Literatur
Roger Penrose: Computerdenken: die Debatte um künstliche Intelligenz, Bewusstsein und die Gesetze der Physik. Heidelberg 1991

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Paul Finsler und eine Welt ohne Widersprüche

Finsler
Paul Finsler (* 11. April 1894 in Heilbronn; † 29. April 1970 in Zürich)

Wir haben uns bereits in einer 6teiligen Serie mit Paul Finslers Mengenlehre beschäftigt. (Siehe dazu Finslers Mengenlehre – Kapitel 1.)

Unser Augenmerk galt der Betrachtung der philosophischen Überlegungen des Platonikers Finsler. In seiner Antrittsvorlesung an der Universität Köln im Jahr 1923 hat Finsler einige seiner Grundgedanken recht anschaulich vorgertragen. Sie trug den Titel: Gibt es Widersprüche in der Mathematik?
Ich kann sehr empfehlen, sich Zeit für die Lektüre dieser Vorlesung zu nehmen. Ich zitiere hier einzelne Kernaussagen.
Er beginnt seine Antrittsvorlesung mit den Worten:

„Verehrte Anwesende! Kann es in der Mathematik Widersprüche geben? Unlösbare Widersprüche? Ist nicht in dieser, der exaktesten der Wissenschaften, jeder Satz entweder richtig oder falsch, ganz unabhängig von allen persönlichen Ansichten oder Anschauungen oder sonstigen Einflüssen? Ist es da möglich, daß man einen Satz beweisen kann und gleichzeitig auch sein Gegenteil?“

Finsler erläutert dann die uns bereits bekannte Russellsche Antinomie (siehe Kapitel 1 der Mengenlehre) und geht auf die Mathematiker ein, die solche Antinomien für ein eher esoterisches Problem halten:

„Es nützt nichts, zu sagen, die Widersprüche kommen nur in den Grenzgebieten der Mathematik vor; denn wo liegt etwa in der Mengenlehre die Grenze zu den Grenzgebieten? und bewegen sich die Untersuchungen Hilberts nicht selbst auch auf diesen Grenzgebieten?“

Finsler betrachtet darauf hin das Wechselverhältnis zwischen Mathematik und Logik und sieht hier einen neuralgischen Punkt:

„Und eine Umgestaltung der Logik? Läßt sich die Logik überhaupt umgestalten? Irgendeine geschriebene oder formalisierte Logik wohl, eine solche kann fehlerhaft oder zu eng sein, nicht aber die reine Logik als solche, die Logik, der man sich als denkendes Wesen unterwerfen muß.“

Finsler geht also – acht Jahre vor Gödels Unvollständigkeitssatz – auf die Schwächen der formaliserten Logik ein. (In einer weiteren Arbeit wird er sogar einen zentralen Gedanken Gödels antizipieren.)

Finsler benennt auch den Kern der mengentheoretischen Antinomien:

Wie kommt es oder wie ist es möglich, daß es Dinge gibt, die nicht zu einer Menge zusammengefaßt werden können?

Unser Resultat dazu lautet ja (siehe Kapitel 3): Ein Element der Russell-Menge entsteht, wenn ein irreduzibles Abstraktum als Konkretum gesetzt wird.

Der letzte Teil der Antrittsvorlesung enthält bereits eine Vorankündigung der Finslerschen Mengenlehre. Er ist sich zu diesem Zeitpunkt sicher, zu einer widerspruchsfreien Mengenlehre gelangt zu sein.

Betrachten wir in diesem Zusammenhang sein Schlußwort:

„Auf jeden Fall aber, glaube ich, steht das Ergebnis fest, daß alle Widersprüche tatsächlich nur scheinbar sind; die Mathematik als solche ist widerspruchsfrei, es gibt noch eine Wissenschaft, in der nichts gilt als die reine Wahrheit.“

Willkommen in einer (mathematischen) Welt ohne Widersprüche!

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Finslers Mengenlehre – Isomorphie und Logik. Kapitel 6.

Es gibt eine gute und eine schlechte Nachricht. Die gute Nachricht: Mit diesem sechsten Kapitel endet vorläufig die Darstellung von Finslers Mengenlehre. Bevor wir weitere Schritte in diese Richtung gehen können, werden wir uns im April noch eingehender mit Zermelo beschäftigen.
Die schlechte Nachricht: Es ist unumgänglich, die Kapitel komplett und in Reihenfolge zu lesen. Bestenfalls sogar zweifach – dann sollte der Leser einen Zugang zum Denken des Platonikers Finsler gefunden haben.

Uns fehlt noch die Definition einer beziehungstreuen Abbildung:

Eine umkehrbar eindeutige Abbildung von zwei vollständigen Systemen aufeinander heiße beziehungstreu, wenn mit der Beziehung A β a für Mengen des einen Systems stets auch die Beziehung A‘ β a‘ für die zugeordneten Mengen des andern Systems erfüllt ist und umgekehrt.

Betrachten wir die Systeme:
Σ := {1, 2, 3, {1,2,3}}
beziehungsweise mit A={1,2,3}
Σ := {1, 2, 3, A}

und
Σ‘ := {4, 5, 6, {4,5,6}}
beziehungsweise mit B={4,5,6}
Σ‘ := {4, 5, 6, B}

In Σ gilt zum Beispiel A β 1 und in Σ‘ gilt B β 4.
In jedem der beiden Systeme gibt es drei Beziehungen.
Eine Abbildung könnte lauten:
1 -> 1’= 4
2 -> 2’= 5
3 -> 3’= 6.

Nun zur Definition der Isomorphie.

Zwei Mengen M und M‘ heißen isomorph, wenn sich die aus den Mengen M bzw. M‘ und den darin wesentlichen Mengen bestehenden Systeme Σ(M) und Σ(M‘) umkehrbar eindeutig und beziehungstreu aufeinander abbilden lassen, und zwar so, daß dabei M auf M‘ abgebildet wird.

Nun also endlich das zweite Axiom:

II. Axiom der Identität
Isomorphe Mengen sind identisch.

In unserem Beispiel heißt das, dass da A={1,2,3} und B={4,5,6} isomorph sind, sie auch identisch sein müssen.

Visualisiert man die Beziehung β durch einen Pfeil, ergibt sich für die Menge A folgendes Bild:
Finsler-1

Erweitern wir Σ um drei unwesentliche Mengen zu einem System
Σ+ := {1, 2, 3, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}}
dann ergibt sich folgende erweiterte Struktur:
Finsler-2
Und diese Struktur ist isomorph zu Σ+‘:
finsler-3

Die ominöse J-Menge der Struktur A={A} wird wie folgt visualisiert:
finsler-4

Es handelt sich um eine reine Selbstreferenz, egal ob GOTT={GOTT} oder ICH={ICH} oder A={A} – in Finslers Mengenlehre sind diese Konstrukte alle identisch. Oder anders ausgedrückt: Im Finsler-Universum kann es nur eine J-Menge geben.

Zum Ende wollen wir noch einen wichtigen Satz ableiten.

Wenn die Mengen M und M‘ dieselben Elemente besitzen, so sind wegen Satz 4 (aus Kapitel 5) auch die Systeme Σ(M) und Σ(M‘) identisch und die Mengen M und M‘ sind isomorph. Nach Axiom II ergibt sich also der Satz:

Satz 5. Zwei Mengen, welche dieselben Elemente besitzen, sind identisch.

Es ist philosophisch recht interessant, einen an sich so einfachen Gedanken hier als Ableitung vorzufinden. Nun verabschieden wir uns vorerst von Finsler.

Es gibt eine Reihe von Anknüpfungspunkten in Richtung Topologie, Graphentheorie und auch der Theorie neuronaler Netzwerke. Doch zuvor werden wir uns mit Zermelo und Gödel beschäftigen.

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Kleine Küchenweisheiten – Giordano Bruno und die Pizza improvvisato

»Du hast die Tomatensauce ohne passierte Tomaten gemacht?«
»Aber dafür mit passierter Paprika.«
»Orrr!«
»Warum Orrr? Ich dachte, es geht um’s Prinzip.«

Eine nicht selten gebrauchte Formulierung: »Es geht doch um’s Prinzip.« Was meinen wir eigentlich damit? Was ist der philosophische Begriff eines Prinzips?

Der italienische Philosoph Giordano Bruno hat sich in seinem Werk „Von der Ursache, dem Prinzip und dem Einen“ (1584) damit beschäftigt. Bevor wir seine Ansicht erörtern, fertigen wie zunächst eine improvisierte Pizza an.

Es gibt viele Rezepte für Pizzateig, aber nur wenige, die einen nie im Stich lassen. Die genaue Dosierung ist dabei absolut wichtig – ich rate zum Einsatz einer Küchenwaage.

Folgende Zusammensetzung pro (großer) Portion:

  • 250 Gramm Mehl
  • 2 Gramm Hefe
  • 1 EL Olivenöl
  • 150 ml Wasser, lauwarm
  • 5 Gramm Salz

Ein Pizzateig erfordert darüber hinaus Liebe und Zeit. Ich siebe zum Beispiel das Mehl und füge – Prise für Prise – die Hefe hinzu. Nach dem Kneten bleiben die Rührstäbe stecken:
teig
Eine Konsistenz, die beinahe geeignet wäre, den Beton der Leverkusener Rheinbrücke zu flicken.

Nun fehlt noch die Pizzasauce. Was tun, wenn man keine passierten Tomaten im Haus hat?

Wenn wir uns an Polpa di pomodoro orientieren, also pürierte Tomaten, dann kann man zumindest improvisieren. Pürierte Paprika plus Tomatenmark.
Dazu eine Paprika in kleine Stücke schneiden – etwas Zwiebel dazu – und ordentlich durchkochen. Danach mit einem Mixer zerkleinern:
paprika
{Das Bild zeigt die Probanden vor der endgültigen Zerkleinerung.}
Im Zuge dieses Arbeitsschrittes fliegen kleine Paprikastücke in der Küche umher. Wenigstens kein langweiliges Leben.

Dann ein ganz klein wenig Wasser und ca. 80 Gramm Tomatenmark dazugeben und kurz aufkochen. Ein Teelöffel Currypaste hat darüber hinaus noch niemandem geschadet.
sauce
Fertig ist die Pizzasauce.

Als Belag gibt es in der spartanischen Ausstattung Pilze und Zwiebeln.
pizza-fertig
Optisch nicht zwingend preiswürdig – geschmacklich aber eine feine Sache. Ehrlich.

Nun wollen wir aber hören, was Bruno zum Begriff des Prinzips zu sagen hat.

DISCONO. Nun erklärt, welchen Unterschied ihr zwischen Ursache und Prinzip in der Natur macht.
TEOFILO. Wiewohl gelegentlich der eine Begriff statt des anderen gebraucht wird, ist dennoch – genau genommen – nicht jedes Ding, das Prinzip ist, auch Ursache: denn der Punkt ist das Prinzip der Linie, aber nicht ihre Ursache; der Augenblick ist das Prinzip der Tätigkeit, [jedoch nicht deren Ursache]; der Zeitpunkt am Anfang der Bewegung ist das Prinzip der Bewegung, aber nicht ihr Ursache; die Voraussetzungen sind das Prinzip der Beweisführung, aber nicht deren Ursache. Daher ist >Prinzip< gegenüber >Ursache< der allgemeinere Begriff.

Der Physiker wird bei dieser Textstelle vielleicht an Symmetriegruppen und das Noether-Theorem denken. Der Mathematiker assoziiert den Begriff des infinitesimal Erzeugenden. Und der Philosoph denkt an Cusanus und seine Beschreibung der Beziehung von Punkt und Linie.

Wir konzentrieren uns hier nur darauf, dass der Begriff der Ursache hinter den Begriff des Prinzips zurücktritt. Das ist philosophisch keine Kleinigkeit – man denke nur an das berühmte Vier-Ursachen-Schema des Aristoteles.

Tatsächlich wurde der Begriff einer Ursache schon zu Beginn der 16. Jahrhunderts einer kritischen Revision unterzogen – nicht zufällig parallel zum Aufkommen moderner Naturwissenschaften.

Der Philosoph Agostino Nifo führt in seinem Kommentar zur Physik des Aristoteles von 1506 den Begriff der vermutenden Beweises an („demonstratio coniecturalis“). Das ist nichts weniger als ein Grundstein für eine Naturwissenschaft, die mit Hypothesen arbeitet und diese verifiziert bzw. falsifiziert.

Was ist nun der Unterschied? Fragen wir nur nach Ursachen und Wirkungen, sind wir schnell in einer Kette aus Ursachen und Wirkungen verstrickt. Jede Ursache hat ihrerseits Ursachen etc.
Der Philosoph soll einen Schritt zurücktreten und sich die Struktur dieser Kette anschauen. Wenn er Glück hat, wird er sie als transzendentales Schmuckstück erkennen.

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Finslers Mengenlehre – Isomorphie und Logik. Kapitel 5.

Bevor wir zum bedeutenden zweiten Axiom kommen, benötigen wir noch eine Reihe weiterer Definitionen. Auch erste Sätze werden bereits abgeleitet.

So lange Axiom I erfüllt bleibt, können wir von jedem System Σ ein Teilsystem bilden.

Definition: Ein System von Mengen, welches mit jeder Menge auch alle Elemente dieser Menge enthält, werde ein vollständiges System genannt.

Beispiele:
Σ_1 = {1,2,3,{1,2,3}}.
Σ_2 = {1,2,{1,2,3}}.

Σ_2 ist unvollständig, da hier das Element 3 fehlt.

Zu jeder beliebigen Menge M können wir ein System konstruieren, das alle Elemente dieser Menge enthält.
Für M= {1,2,3} haben wir mit Σ_1 ein vollständiges System gefunden.
Doch was ist mit
Σ_3 = {1,2,3, {1,2}, {1,2,3}}?

Der Definition nach ist es auch ein vollständiges System zu M. Es enthält aber zusätzlich eine Menge {1,2}.

Definition:Diejenigen Mengen, welche jedem derartigen System angehören, sollen in M wesentlich heißen.

In unserem Beispiel stellen wir also fest, dass die Menge {1,2} für das System nicht wesentlich ist.

Finslers Begriff „wesentlich“ würde ich – auch im Hinblick auf Interpretationen in der neuronalen Logik – wie den Begriff „konstitutiv“ interpretieren.

Finsler führt weiter aus:
„Ist die Menge A in M wesentlich, und ist a Element von A, so ist a auch in M wesentlich, denn es gibt kein vollständiges System, welches die Menge A, aber nicht die Menge a enthält.“

Die Begriffe mögen noch ungewohnt sein, aber der Logik kann man bis zu diesem Punkt folgen. In etwas freier Interpretation finden wir: Die Eigenschaft, konstitutiv zu sein, verliert sich nicht bei der Einbettung in einer umfassendere Menge.

Satz 1. Die in einer Menge M wesentlichen Mengen bilden ein vollständiges System, welches alle Elemente von M enthält. Dasselbe gilt auch für die Menge M und die in ihr wesentlichen Mengen zusammen.

Anschaulich: Der zweite Satz bezieht sich auf Σ_1 = {1,2,3,{1,2,3}}
und der erste Satz auf ein System Σ_0 = {1,2,3}.
In dem einen Fall, sehen wir das, was konstituiert für sich (in der Neuro-Logik wären hier Inputs zu assoziieren) und im zweiten Fall die konstituierenden Elemente zusammen mit dem, was konstituiert wird (die Menge M – in der Neuro-Logik mit einem Output zu assoziieren).

Satz 2. Ein vollständiges System enthält mit jeder Menge M auch alle in M wesentlichen Mengen.

Die Besonderheit liegt hier in dem Wörtchen alle. Wir können den Satz aber aus den Definitionen leicht ableiten. Nehmen wir an, eine wesentliche Menge X sei nicht enthalten, dann ergibt sich ein Widerspruch zur Definition, dass X jedem System angehört, dass die Elemente von M enthält.

Satz 3. Ist A in B wesentlich und B in C, so ist auch A in C wesentlich.

Wir gewinnen hier also das Prinzip der Transitivität. Der Beweis geht wir folgt:
Wir berufen uns auf Satz 1 und wenden ihn auf die Menge C an. Das System Σ_C der in C wesentlichen Mengen ist demnach ein vollständiges System. Offenbar ist B ein Element von C und wir können Satz 2 auf B anwenden.

Satz 4. Wenn A in M wesentlich ist, so ist A Element von M oder in einem Element von M wesentlich.

Dieser Satz bezeichnet sozusagen das Konstitutiv-Sein eines Elements bzw. einer Menge.

Was hat das nun alles mit der Neuro-Logik zu tun?
Dies wird erst im Zusammenhang mit dem zweiten Axiom deutlicher werden.
Nehmen wir vorab ein anschauliches Beispiel. Wir betreten einen Supermarkt in der Absicht, ein großes Glas nutella zu kaufen.
Wir haben also ein geistiges Bild – ein System Σ_nutella im Kopf:

Σ_nutella = {braune Farbe, ovale Grundform, schwer, {weißer Deckel}}.
Dabei ist {weißer Deckel} hier selbst ein Konzept (eine Menge aus Elementen). Nun sind neuerdings nutella-Gläser mit Namen versehen.

Es gibt damit recht verschiedene Systeme:
Σ_nutella‘ = {braune Farbe, „Jürgen“, ovale Grundform, schwer, {weißer Deckel}}.
Σ_nutella“ = {braune Farbe, „Marion“, ovale Grundform, schwer, {weißer Deckel}}.

Offenbar ist die ovale Grundform konstitutiv für das nutella-Glas (oder – in Finslers Worten: wesentlich). Der individuelle Name ist hingegen nicht wesentlich.

Nun ist das nötige Rüstzeug beisammen, um im nächsten Kapitel Finslers zweites Axiom näher zu beleuchten.

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Eingeordnet unter Metamathematik, Neurophilosophie