Monatsarchiv: April 2015

Finsler und das Fundierungsaxiom

Die Mathematik gilt als eine der klarsten Wissenschaften. Bei einer so grundlegenden Wissenschaft ist zu vermuten, dass ihre Strukturen eng verbunden sind mit den elementaren Strukturen unseres Denkens. Nicht umsonst hat die Mathematik in Kants Kritik der reinen Vernunft eine Schlüsselrolle.

Für den Philosophen ist es von Interesse, den Aufbau dieser Struktur zu studieren.

Ein zentrales Fundament der Mathematik ist die Mengenlehre. Die Mehrheit der Mathematiker betrachtet die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre als den zentralen Baustein der Mathematik. Diese Mengenlehre beruht auf neun Grundannahmen (Axiomen) – gleichsam die zehn Gebote der Mathematik.

Diese neun Grundannahmen sind nicht alle gleich einsichtig. Besondere Probleme bereitet das sogenannte Fundierungsaxiom, von dem selbst Fachleute sagen, es sei ein „vergleichsweise mysteriös anmutendes Axiom“ [1].
Mit diesem Axiom wollen wir uns heute intensiver beschäftigen.

Doch zuvor rufen wir in Erinnerung, dass wir mit Paul Finslers Mengenlehre (siehe Finslers Mengenlehre – Isomorphie und Logik. Kapitel 1.) bereits eine hoch interessante Alternative kennengelernt haben.
Finsler kommt mit nur drei Axiomen aus. Die ihm bekannten Axiome hat er aus seinen Grundaxiomen abgeleitet. Mit Ausnahme des Fundierungsaxioms, das erst später publiziert wurde (siehe Zeittafel).

Zeittafel 1903 1908 1926 1930
Russells Antinomie Mengenlehre Zermelo Mengenlehre Finsler Fundierungsaxiom

Was hat es nun mit dem Fundierungsaxiom auf sich? In der Sprache der Mathematik lautet es:

∀ x (x ≠ ∅ → ∃ (y ∈ x) x ∩ y = ∅)

Keine Sorge! Wir wollen das Schritt für Schritt übersetzen.

Der erste Teil sagt, dass die Aussage für alle Mengen x gelten soll, die nicht leer sind. Dann soll eine Teilmenge y von x existieren, deren Schnittmenge mit x leer ist.
Mengen, die das Axiom nicht erfüllen, sind sozusagen verboten.
Und wo liegt nun das Problem?
Betrachten wir die Menge M = {1, 2, 3}.
Nehmen wir als Teilmenge mal die 1 heraus. Und nun betrachten wir die Schnittmenge von 1 mit {1, 2, 3}. Ist das nicht 1?

Aber wenn das so wäre, dann dürfte unsere simple Menge M gar nicht existieren! Wie kann das denn sein? Dies ist der Punkt, an dem nicht wenige die Mathematik verfluchen.

Rufen wir dazu Finslers erstes Axiom in Erinnerung:

I. Axiom der Beziehung
Für beliebige Mengen N und M ist stets eindeutig entschieden, ob M die Beziehung β zu N besitzt oder nicht.

Im Klartext: Die Grundlage der Mengenlehre ist eine umfassende Liste, welche Menge welche Elemente hat, bzw. welche Elemente in welcher Menge enthalten sind.
Da wir in unserem Beispiel M = {1, 2, 3} keine weiteren Angaben gemacht haben, hat 1 keine Elemente (und damit keine Eigenschaften).
Die Schnittmenge bilden bedeutet aber anschaulich: Vergleiche die Eigenschaften!
Und da 1 keine Elemente hat, ist die Schnittmenge mit M leer und das Fundierungsaxiom ist erfüllt.

Worum ging es Zermelo überhaupt bei seinem Axiom?
Er betrachtete zunächst ein „Urelement“ namens u:
g0=u

(In unserem Beispiel wäre die 1 so ein Urelement).
Der elementarste nächste Schritt ist nun, sich eine Menge zu denken, die eben dieses Urelement u enthält:

g1={u}

Nun sind g0 und g1 für den Mathematiker zwei verschiedene Dinge.

Also können wir uns eine Menge vorstellen, die nur diese beiden Dinge enthält:

g2={u, {u}}

Der aufmerksame Leser ahnt schon, dass wir hier ein Spiel begonnen haben, das wir beliebig fortsetzen können:
g3={u, {u}, {u, {u}}}

Und ganz nebenbei stellen wir fest, dass wir unsere Folge auch wie folgt benennen können:
1 := g1
2 := g2
3 := g3

Rückblickend erscheint unsere Beispielmenge M = {1, 2, 3} etwas strukturlos. Eigentlich enthält sie drei Urelemente. Die Symbole sind – solange keine weiteren Beziehungen benannt sind, beliebig. Wir hätten auch M = {t, d, w} oder M = {#, @, §} schreiben können.

Betrachten wir nun Zermelos Formulierung des Fundierungsaxioms:

Jede (rückschreitende) Kette von Elementen, in welcher jedes Glied Element der vorangehenden ist, bricht mit endlichem Index ab bei einem Urelement.
(Zermelo 1930)

Für unsere Kette g0 ff ist das Axiom auf den ersten Blick erfüllt und bereitet keinerlei Probleme.

Der eigentliche Mehrwert des Fundierungsaxioms besteht nun darin, dass bestimmte Antinomien vermieden werden – insbesondere die Russellsche Antinomie (siehe Finslers Mengenlehre, Kapitel 1).
Russell betrachtete Mengen, die sich selbst enthalten:
y ∈ y
Bilden wir nun die Menge x := {y}
Dann ist x nicht leer und y ist eine Teilmenge von x. Und wie sieht die Schnittmenge von x und y nun aus? Beide Mengen haben y als Element, daher ist die Schnittmenge y und damit nicht leer. Ein klarer Verstoß gegen das Fundierungsaxiom!

Finsler vermeidet die Russellsche Antinomie auf andere Weise. Er betrachtet ein System Σ von Mengen, die die Eigenschaft haben, dass sie sich nicht selbst enthalten. Allerdings kann es dann noch immer zu merkwürdigen Konstrukten kommen.

Betrachten wir folgendes Rätsel:

Alfred sagt, dass Bernd weiß, was Sache ist.
Bernd sagt, dass Christoph weiß, was Sache ist.
Christoph sagt, dass Alfred weiß, was Sache ist.
Was ist nun Sache?

In Mengenschreibweise:
A={B}
B={C}
C={A}.

Visualisert (Ein Pfeil bedeutet Menge x enthält y):
Zirkel

Dies ist eine zirkelhafte Kette ohne Urelement, die gegen das Fundierungsaxiom verstösst.

Bei Finsler können solche „zirkelhaften“ Mengen durchaus noch auftreten. Finslers Leistung ist es, eine Konstruktion aufzuweisen, die ein zirelfreies Mengenuniversum ermöglicht.

Anschaulich gesprochen: Das Fundierungsaxiom ist ein wirksames Messer, das womöglich zu viele Mengen aus dem Mengenuniversum eliminiert.
In seiner Dissertation MATHEMATISCHER PLATONISMUS. Beiträge zu Platon und zur Philosophie der Mathematik. stellt Gregor Schneider fest: „Die Finsler-Mengenlehre ist allem Anschein nach umfassender als ein ZFC-Universum.“

Literatur
[1] Dirk W. Hoffmann, Grenzen der Mathematik, 2. Auflage, 2013. (Ein übrigens didaktisch hervorragendes Lehrbuch)

Ein Kommentar

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Introspektion. Ein (sehr) kurzer Essay.

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