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Paul Finsler und eine Welt ohne Widersprüche

Finsler
Paul Finsler (* 11. April 1894 in Heilbronn; † 29. April 1970 in Zürich)

Wir haben uns bereits in einer 6teiligen Serie mit Paul Finslers Mengenlehre beschäftigt. (Siehe dazu Finslers Mengenlehre – Kapitel 1.)

Unser Augenmerk galt der Betrachtung der philosophischen Überlegungen des Platonikers Finsler. In seiner Antrittsvorlesung an der Universität Köln im Jahr 1923 hat Finsler einige seiner Grundgedanken recht anschaulich vorgertragen. Sie trug den Titel: Gibt es Widersprüche in der Mathematik?
Ich kann sehr empfehlen, sich Zeit für die Lektüre dieser Vorlesung zu nehmen. Ich zitiere hier einzelne Kernaussagen.
Er beginnt seine Antrittsvorlesung mit den Worten:

„Verehrte Anwesende! Kann es in der Mathematik Widersprüche geben? Unlösbare Widersprüche? Ist nicht in dieser, der exaktesten der Wissenschaften, jeder Satz entweder richtig oder falsch, ganz unabhängig von allen persönlichen Ansichten oder Anschauungen oder sonstigen Einflüssen? Ist es da möglich, daß man einen Satz beweisen kann und gleichzeitig auch sein Gegenteil?“

Finsler erläutert dann die uns bereits bekannte Russellsche Antinomie (siehe Kapitel 1 der Mengenlehre) und geht auf die Mathematiker ein, die solche Antinomien für ein eher esoterisches Problem halten:

„Es nützt nichts, zu sagen, die Widersprüche kommen nur in den Grenzgebieten der Mathematik vor; denn wo liegt etwa in der Mengenlehre die Grenze zu den Grenzgebieten? und bewegen sich die Untersuchungen Hilberts nicht selbst auch auf diesen Grenzgebieten?“

Finsler betrachtet darauf hin das Wechselverhältnis zwischen Mathematik und Logik und sieht hier einen neuralgischen Punkt:

„Und eine Umgestaltung der Logik? Läßt sich die Logik überhaupt umgestalten? Irgendeine geschriebene oder formalisierte Logik wohl, eine solche kann fehlerhaft oder zu eng sein, nicht aber die reine Logik als solche, die Logik, der man sich als denkendes Wesen unterwerfen muß.“

Finsler geht also – acht Jahre vor Gödels Unvollständigkeitssatz – auf die Schwächen der formaliserten Logik ein. (In einer weiteren Arbeit wird er sogar einen zentralen Gedanken Gödels antizipieren.)

Finsler benennt auch den Kern der mengentheoretischen Antinomien:

Wie kommt es oder wie ist es möglich, daß es Dinge gibt, die nicht zu einer Menge zusammengefaßt werden können?

Unser Resultat dazu lautet ja (siehe Kapitel 3): Ein Element der Russell-Menge entsteht, wenn ein irreduzibles Abstraktum als Konkretum gesetzt wird.

Der letzte Teil der Antrittsvorlesung enthält bereits eine Vorankündigung der Finslerschen Mengenlehre. Er ist sich zu diesem Zeitpunkt sicher, zu einer widerspruchsfreien Mengenlehre gelangt zu sein.

Betrachten wir in diesem Zusammenhang sein Schlußwort:

„Auf jeden Fall aber, glaube ich, steht das Ergebnis fest, daß alle Widersprüche tatsächlich nur scheinbar sind; die Mathematik als solche ist widerspruchsfrei, es gibt noch eine Wissenschaft, in der nichts gilt als die reine Wahrheit.“

Willkommen in einer (mathematischen) Welt ohne Widersprüche!

Ein Kommentar

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Finslers Mengenlehre – Isomorphie und Logik. Kapitel 5.

Bevor wir zum bedeutenden zweiten Axiom kommen, benötigen wir noch eine Reihe weiterer Definitionen. Auch erste Sätze werden bereits abgeleitet.

So lange Axiom I erfüllt bleibt, können wir von jedem System Σ ein Teilsystem bilden.

Definition: Ein System von Mengen, welches mit jeder Menge auch alle Elemente dieser Menge enthält, werde ein vollständiges System genannt.

Beispiele:
Σ_1 = {1,2,3,{1,2,3}}.
Σ_2 = {1,2,{1,2,3}}.

Σ_2 ist unvollständig, da hier das Element 3 fehlt.

Zu jeder beliebigen Menge M können wir ein System konstruieren, das alle Elemente dieser Menge enthält.
Für M= {1,2,3} haben wir mit Σ_1 ein vollständiges System gefunden.
Doch was ist mit
Σ_3 = {1,2,3, {1,2}, {1,2,3}}?

Der Definition nach ist es auch ein vollständiges System zu M. Es enthält aber zusätzlich eine Menge {1,2}.

Definition:Diejenigen Mengen, welche jedem derartigen System angehören, sollen in M wesentlich heißen.

In unserem Beispiel stellen wir also fest, dass die Menge {1,2} für das System nicht wesentlich ist.

Finslers Begriff „wesentlich“ würde ich – auch im Hinblick auf Interpretationen in der neuronalen Logik – wie den Begriff „konstitutiv“ interpretieren.

Finsler führt weiter aus:
„Ist die Menge A in M wesentlich, und ist a Element von A, so ist a auch in M wesentlich, denn es gibt kein vollständiges System, welches die Menge A, aber nicht die Menge a enthält.“

Die Begriffe mögen noch ungewohnt sein, aber der Logik kann man bis zu diesem Punkt folgen. In etwas freier Interpretation finden wir: Die Eigenschaft, konstitutiv zu sein, verliert sich nicht bei der Einbettung in einer umfassendere Menge.

Satz 1. Die in einer Menge M wesentlichen Mengen bilden ein vollständiges System, welches alle Elemente von M enthält. Dasselbe gilt auch für die Menge M und die in ihr wesentlichen Mengen zusammen.

Anschaulich: Der zweite Satz bezieht sich auf Σ_1 = {1,2,3,{1,2,3}}
und der erste Satz auf ein System Σ_0 = {1,2,3}.
In dem einen Fall, sehen wir das, was konstituiert für sich (in der Neuro-Logik wären hier Inputs zu assoziieren) und im zweiten Fall die konstituierenden Elemente zusammen mit dem, was konstituiert wird (die Menge M – in der Neuro-Logik mit einem Output zu assoziieren).

Satz 2. Ein vollständiges System enthält mit jeder Menge M auch alle in M wesentlichen Mengen.

Die Besonderheit liegt hier in dem Wörtchen alle. Wir können den Satz aber aus den Definitionen leicht ableiten. Nehmen wir an, eine wesentliche Menge X sei nicht enthalten, dann ergibt sich ein Widerspruch zur Definition, dass X jedem System angehört, dass die Elemente von M enthält.

Satz 3. Ist A in B wesentlich und B in C, so ist auch A in C wesentlich.

Wir gewinnen hier also das Prinzip der Transitivität. Der Beweis geht wir folgt:
Wir berufen uns auf Satz 1 und wenden ihn auf die Menge C an. Das System Σ_C der in C wesentlichen Mengen ist demnach ein vollständiges System. Offenbar ist B ein Element von C und wir können Satz 2 auf B anwenden.

Satz 4. Wenn A in M wesentlich ist, so ist A Element von M oder in einem Element von M wesentlich.

Dieser Satz bezeichnet sozusagen das Konstitutiv-Sein eines Elements bzw. einer Menge.

Was hat das nun alles mit der Neuro-Logik zu tun?
Dies wird erst im Zusammenhang mit dem zweiten Axiom deutlicher werden.
Nehmen wir vorab ein anschauliches Beispiel. Wir betreten einen Supermarkt in der Absicht, ein großes Glas nutella zu kaufen.
Wir haben also ein geistiges Bild – ein System Σ_nutella im Kopf:

Σ_nutella = {braune Farbe, ovale Grundform, schwer, {weißer Deckel}}.
Dabei ist {weißer Deckel} hier selbst ein Konzept (eine Menge aus Elementen). Nun sind neuerdings nutella-Gläser mit Namen versehen.

Es gibt damit recht verschiedene Systeme:
Σ_nutella‘ = {braune Farbe, „Jürgen“, ovale Grundform, schwer, {weißer Deckel}}.
Σ_nutella“ = {braune Farbe, „Marion“, ovale Grundform, schwer, {weißer Deckel}}.

Offenbar ist die ovale Grundform konstitutiv für das nutella-Glas (oder – in Finslers Worten: wesentlich). Der individuelle Name ist hingegen nicht wesentlich.

Nun ist das nötige Rüstzeug beisammen, um im nächsten Kapitel Finslers zweites Axiom näher zu beleuchten.

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Finslers Mengenlehre – Isomorphie und Logik. Kapitel 4.

Wir sind zu folgendem Resultat gekommen:
Ein Element der Russell-Menge entsteht, wenn ein irreduzibles Abstraktum als Konkretum gesetzt wird.

Mit einfachen Worten ausgedrückt, bedeutet das, dass man Mengen und Elemente nicht immer auf eine Ebene setzen kann. Es kann zu Widersprüchen führen, wenn man bestimmte Mengen wie ein Element behandelt.

Es ist also (wie in der Grafik in Kapitel 3 angedeutet) eine Art Meta-Ebene zu berücksichtigen.
Dazu führt Finsler den Begriff des Systems. Das System umfasst Mengen und Elemente, mit denen wir operieren. Das System selbst allerdings taucht nicht als Element auf.

Wir kommen nun zum ersten Axiom.

I. Axiom der Beziehung
Für beliebige Mengen N und M ist stets eindeutig entschieden, ob M die Beziehung β zu N besitzt oder nicht.

Nach den etwas verwirrenden Antinomien ist das nun mal ein Satz von absoluter Klarheit. Wir betreiben Mathematik in einem Universum (dem System Σ) geklärter Beziehungen.

Als Anhang zum ersten Axiom noch folgende Definitionen:

Wenn eine Menge M zu einer Menge A die Beziehung β besitzt, oder kurz, wenn M β A gilt, so soll A ein Element von M heißen.

Ein Ding von Σ, welches die Beziehung β zu keinem Ding besitzt (nicht nur zu keinem andern), soll eine Nullmenge heißen.

Ein Ding von Σ, welches die Beziehung β allein zu einer Nullmenge besitzt, welches also die Nullmenge als einziges Element enthält, werde als Einsmenge bezeichnet.

Damit haben wir schon einiges an Rüstzeug für die Mengenlehre zusammen.
Welchen Sinn macht aber nun das Axiom? Wird damit nicht schon etwas zu viel vorausgesetzt?
Man spürt bei Finsler sehr stark das Bemühen um Klarheit und den Willen Antinomien zu vermeiden. Ob es Alternativen zu Axiom I gibt, kann hier nicht weiter erörtert werden.

Spannend aber wird es, wenn wir Finslers Mengenlehre mit dem Blick der Neurowissenschaften betrachten.
„Mengen“, „Zusammenfassungen“ oder „Abstraktionen“ werden in den Neurowissenschaftlern durch Gruppen von Neuronen (neural assemblies) repräsentiert, die sich in ihren Aktivitätsmustern (synfire chains) synchronisieren.

Wenn wir einfache Sinneseindrücke (etwa (a) die Farbe rot und (b) die Form rund) als Elemente betrachten, so gibt es eine neural assembly N (hier als Menge aufgefasst), die a und b als Elemente enthält und das abstrakte Konzept „Clownsnase“ repräsentiert. Geltung definiert sich aus der neuronalen Verdrahtung heraus und ist ganz pragmatisch aufzufassen.

In diesem Sinne passt Finslers Mengenlehre sehr gut zu einer Neuro-Logik im Sinne von Olaf Breidbach:

„Die soweit sichere Realität weiß sich demnach zunächst zurückgesetzt. Aus ihren Bestimmungen in Geltung gesetzt, findet sich die Welt in ihren Konturierungen allein in einer internen Realität, deren Bestimmtheit die Rationalität eines bloß Funktionalen, die Beliebigkeit eines reinen Pragmatismus, in einen festen Geltungshorizont überführt.“ [1], Seite 167

Literatur
[1] Breidbach, Olaf: Deutungen. Zur philosophischen Dimension der internen Repräsentation. Velbrück Wissenschaft. Weilerswist 2001. 194 S.

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Finslers Mengenlehre – Isomorphie und Logik. Kapitel 3.

Womit soll die Mathematik beginnen? Was sind die Fundamente, die unumstößlichen Gedanken, die als Grundlage dienen sollen? Eine Möglichkeit besteht darin, die Aussagenlogik als Basis zu nehmen und darauf dann eine Mengenlehre zu errichten. Was immer bei der Mengenlehre dann als Ergebnis herauskommt, die Prinzipien der Aussagenlogik können nicht mehr hinterfragt werden. Aber sind nicht die elementaren Inhalte des Denkens die „Dinge“ und „Mengen“?

Hier ist der Zugang anders. Wir beginnen bei Null und haben am Anfang nichts anderes zur Verfügung als unseren gesunden Menschenverstand und ganz wenige – aber unverzichtbare – Prinzipien des Denkens.

Wir befinden uns noch immer im Jahr 1926 und versetzen uns in die Position von Paul Finsler. Für ihn ist dieses unverzichtbare Prinzip das tertium non datur, wie er gleich zu Beginn der Arbeit klarstellt.

„In dieser Arbeit wird der Standpunkt eingenommen, daß die exakte Mathematik so weit reicht, wie der Satz vom ausgeschlossenen Dritten.“

Neben diesem Grundprinzip untersucht der Platoniker Finsler die Struktur der naiven Mengenlehre, die nicht klar zwischen Dingen und Mengen unterscheidet. Die nachstehende Grafik fasst die Erkenntnisse aus Kapitel 1 und 2 zusammen und illustriert dabei den Unterschied von β und ∈:
Diagramm Finsler

Betrachten wir die folgenden drei Mengen:
A= {Hund}
B= {Katze}
C= {Hund, Katze}

Anstelle des Buchstabens C hätten wir auch das Wort HAUSTIER zur Bezeichnung der Menge wählen können. Offenbar ist C aus den Elementen der Mengen A und B gebildet.

Finsler formuliert eine der Forderungen der naiven Mengenlehre:

„Es soll zu beliebig gegebenen Dingen stets ein eindeutig bestimmtes Ding existieren, welches die Beziehung β zu den gegebenen Dingen und nur zu diesen besitzt.“

Übertragen auf unser Beispiel heißt das, es soll auch ein Ding namens HAUSTIER existieren. Wie im Schaubild dargestellt, ist HAUSTIER ein ideelles Ding – quasi eine platonische Idee. Das, was ontisch existiert, nennt Finsler eine Gesamtheit. „Ein Hund und eine Katze“ bilden also so eine Gesamtheit.

Nun ist es keineswegs unproblematisch, wenn eine beliebige Zusammenfassung als Ding behandelt wird. Betrachten wir dazu Finslers Analyse der Antinomien der naiven Mengenlehre:

„Sind a und b irgend zwei verschiedene Dinge des Bereichs, so müßten in dem Bereich drei verschiedene Dinge A, B, und C existieren, derart, daß A die Beziehung β nur zu a, B zu b und C zu a und b besitzt. Dann kann aber nicht gleichzeitig A β A, B β B und C β C gelten, denn daraus würde A=a, B=b und C= a oder b folgen, während doch C von A und B verschieden sein muß. Es wären also sicher Dinge vorhanden, welche die Beziehung β nicht zu sich selbst besitzen, der Bereich kann aber wieder kein Ding N enthalten, daß die Beziehung β zu allen und nur zu diesen Dingen besitzt.“

Wichtige Anmerkung: Finslers Formulierung, es gibt ein A, für das nicht A β A gilt, entspricht der Aussage, es gibt ein A für das gilt: A ∉ A (siehe dazu Russells Antinomie zu Beginn von Kapitel 1).

Der Widerspruch beginnt also damit, dass wir unsere Menge HAUSTIER als Ding C auffassen.

Im Prinzip generiert Finsler ausgehend von zwei Elementen (a und b) eine Russel-Menge C.

A besitzt die Beziehung nur zu a.
B besitzt die Beziehung nur zu b.
C besitzt die Beziehung nur zu a und zu b.

Interpretieren wir nun ein Element als eine Frage und die Beziehung als eine Antwort. Die Zugehörigkeit zu einer Menge bedeutet ja ganz elementar, dass eine Eigenschaft – ein Attribut – zugewiesen wird.

A ist eine Antwort nur auf a.
B ist eine Antwort nur auf b.
C ist die eine Antwort nur auf a oder b.

HUND ist eine Antwort nur auf Hund.
KATZE ist eine Antwort nur auf Katze.
HAUSTIER ist eine Antwort auf Katze und eine Antwort auf Hund.

Die Kategorie HUND ist nun selbstreferentiell definiert. In ausführlicher Notation:

Die Antwort auf Hund ist HUND.
Die Antwort auf HUND ist Hund.
HUND=Hund

HUND β HUND

Analoges gilt auch für die Kategorie KATZE mit dem Resultat:

KATZE β KATZE

(Zurück zu Finlers Ausführung haben wir also bis hier: A β A und B β B.)

Nun ist HAUSTIER entweder die Antwort auf Katze oder auf Hund.
HAUSTIER ist nicht die Antwort auf irgendeine Frage C.

KATZE, HUND und HAUSTIER sollen aber verschiedene Dinge sein.

Können also A β A und B β B und C β C gleichzeitig gelten?

Haustier kann eben nicht die Antwort auf Haustier sein, sondern nur auf Katze oder Hund.
Dann kann C β C nur C=Katze oder C=Hund bedeuten.

HAUSTIER ist nicht selbstreferentiell definiert – es gilt eben nicht C β C – und damit Element der Russell-Menge.

Das ist natürlich bemerkenswert. Wir wurden also Zeuge der Entstehung einer Russell-Menge. Was genau ist da nun passiert?
Offenbar stellt die Kategorie HAUSTIER ein Abstraktum dar.
Technisch gesehen gilt das auch für die Kategorie HUND, die allerdings durch ein einzelnes Konkretum (Hund) definiert ist. Wegen HUND=Hund haben wir es also mit einem Abstraktum zu tun, das sich auf ein Konkretum reduzieren lässt.
HAUSTIER (oder die Menge C in Finslers Beispiel) ist ein irreduzibles Abstraktum.

Wir stellen also fest:

Ein Element der Russell-Menge entsteht, wenn ein irreduzibles Abstraktum als Konkretum gesetzt wird.

Ein anderes Wort für ein irreduzibles Abstraktum wäre platonische Entität.

Im nächsten Kapitel wenden wir uns endlich dem ersten Axiom zu.

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Finslers Mengenlehre – Isomorphie und Logik. Kapitel 2.

Wir schreiben das Jahr 1926. Paul Finsler hat gerade den ersten Teil seiner Mengenlehre veröffentlicht. Die Russelsche Antinomie war zu diesem Zeitpunkt schon lange bekannt. Mathematiker wie Ernst Zermelo beschäftigten sich zu dieser Zeit dennoch weiter mit Mengen, die sich selbst als Element enthalten (x ∈ x). Auch Finsler geht in seiner Arbeit auf diese Konstrukte ausführlich ein [1].

Wir wollen genauer verstehen, wie man sich eine Menge, die sich selbst als Element enthält, vorstellen kann. Da wir dazu den Begriff der Isomorphie benötigen, sei hier schon vorab Finslers 2. Axiom zitiert:

II. Axiom
Isomorphe Mengen sind identisch.

Wörtlich übersetzt heißt das: Mengen, die die gleiche Gestalt haben, sind identisch. Finsler baut seine Definition auf den Begriff der umkehrbar eindeutigen und beziehungstreuen Abbildung auf [2].
Betrachten wir dazu die Mengen A und B:
A = {1, 2, 3, 4}
B = {1, 4, 9, 16}
Die Quadratfunktion ordnet hier jedem Element von A genau ein Element von B zu und umgekehrt ordnet die Wurzelfunktion jedem Element von B genau ein Element von A zu.
Es kommt also auf Eindeutigkeit und Vollständigkeit der Beziehung an.

Im ersten Kapitel seiner Arbeit behandelt Finsler die Antinomien. Die naive Mengenlehre fordert, dass zu beliebig gegebenen Dingen stets eine eindeutig bestimmte Menge existiert, die die Beziehung β zu den gegebenen Dingen und nur zu diesen besitzt. Dies führe zum Widerspruch:

„Ist nämlich irgendein Bereich von Dingen vorgelegt, zwischen denen eine einmehrdeutige Beziehung β besteht, so nehme man diejenigen Dinge A des Bereichs, welche die Beziehung β nicht zu sich selbst besitzen, für die also nicht A β A gilt. Dann gibt es in dem Bereich kein Ding N, welches die Beziehung zu diesen und nur diesen Dingen besitzt, denn sowohl die Annahme N β N als auch die gegenteilige Annahme führt sofort zum Widerspruch.“

Aufmerksame Leser erkennen hier eine Variante der in Kapitel 1 besprochenen Russelschen Antinomie.
Sind damit die ominösen Mengen, die sich selbst enthalten, vom Tisch? Nicht ganz, wie Finsler im nächsten Absatz seiner Erörterung darlegt:

„Wenn die Forderung nur für den Fall zu gelten braucht, daß die Anzahl der gegebenen Dinge von Null verschieden ist, so ist sie erfüllt für einen Bereich, der ein einziges Ding J enthält, das die Beziehung β zu sich selbst besitzt.“

Für so eine J-Menge gilt dann: J = {J} bzw. J β J.
Aber was soll man sich darunter nun konkret vorstellen?

Betrachten wir mal die Menge der Dienstage:

D = {26.04.2011, 03.05.2011, 13.09.2011, 11.09.2001, …}

Ein singuläres Datum ist natürlich der 11. September 2001. Können wir uns also eine Menge 9/11 vorstellen, die durch dieses eine Element umfassend definiert ist?
Ist 9/11 = {11.09.2001) eine J-Menge?
Der Terroranschlag auf das Redaktionsbüro von Charlie Hebdo am 7. Januar 2015 wurde von einigen Journalisten der gleichen Kategorie wie 9/11 zugeordnet- wie schon zuvor Attentate in London und Madrid.
Es gibt also eine Zusammenfassung
9/11 = {11.09.2001, 07.01.2015, …} und somit keine Übereinstimmung von Menge und Element.

Wir hatten uns eine Menge als Operation eines Subjekts vorgestellt. Und diese Operation soll nun umfassend, eindeutig und selbstbestimmt sein. Offenbar sind solche J-Mengen im Universum eher selten anzutreffen.

Ein Kandidat stammt aus der Theologie:
GOTT = {Gott}
bzw.
GOTT β Gott

Ein weiterer Kandidat wäre das Ich-Bewusstsein im Sinne von Fichte:

ICH = {Ich}
bzw.
ICH β Ich

Damit könnte man zu einer Formalisierung von Fichtes Wissenschaftslehre ansetzen [3]:
∃ Ich | ICH β Ich

Bemerkenswert ist nun, dass bei dieser Art der Darstellung GOTT und ICH im Sinne von Finsler isomorph – und gemäß Axiom II identisch – sind. Der deutschen Idealismus hat also unter dem Strukturaspekt stets in Sichtweite der Theologie verweilt.

Im nächsten Kapitel beenden wir die Betrachtung der Antinomien.

Note Added in Proof:
Nach unserer Interpretation aus Kapitel 1 (Element=Objekt, Menge=Subjekt) läuft die Identität von Menge und Element auf die Identität von Objekt und Subjekt hinaus. Beispiele für Subjekt-Objekte sind Gott und Ich. (Ggf. wäre hier noch Goethes Naturbegriff zu ergänzen).

Anmerkungen
[1] Heue werden solche Konstrukte i.A. durch das Fundierungsaxiom ausgeschlossen.
[2] Die heute geläufigen Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv kamen erst in den 30er Jahren auf.
[3] Der Existenz-Quantor ∃ wäre mit der Forderung assoziiert, dass das Ich zur intellektuellen Anschauung befähigt ist.

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