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Paul Finsler und eine Welt ohne Widersprüche

Finsler
Paul Finsler (* 11. April 1894 in Heilbronn; † 29. April 1970 in Zürich)

Wir haben uns bereits in einer 6teiligen Serie mit Paul Finslers Mengenlehre beschäftigt. (Siehe dazu Finslers Mengenlehre – Kapitel 1.)

Unser Augenmerk galt der Betrachtung der philosophischen Überlegungen des Platonikers Finsler. In seiner Antrittsvorlesung an der Universität Köln im Jahr 1923 hat Finsler einige seiner Grundgedanken recht anschaulich vorgertragen. Sie trug den Titel: Gibt es Widersprüche in der Mathematik?
Ich kann sehr empfehlen, sich Zeit für die Lektüre dieser Vorlesung zu nehmen. Ich zitiere hier einzelne Kernaussagen.
Er beginnt seine Antrittsvorlesung mit den Worten:

„Verehrte Anwesende! Kann es in der Mathematik Widersprüche geben? Unlösbare Widersprüche? Ist nicht in dieser, der exaktesten der Wissenschaften, jeder Satz entweder richtig oder falsch, ganz unabhängig von allen persönlichen Ansichten oder Anschauungen oder sonstigen Einflüssen? Ist es da möglich, daß man einen Satz beweisen kann und gleichzeitig auch sein Gegenteil?“

Finsler erläutert dann die uns bereits bekannte Russellsche Antinomie (siehe Kapitel 1 der Mengenlehre) und geht auf die Mathematiker ein, die solche Antinomien für ein eher esoterisches Problem halten:

„Es nützt nichts, zu sagen, die Widersprüche kommen nur in den Grenzgebieten der Mathematik vor; denn wo liegt etwa in der Mengenlehre die Grenze zu den Grenzgebieten? und bewegen sich die Untersuchungen Hilberts nicht selbst auch auf diesen Grenzgebieten?“

Finsler betrachtet darauf hin das Wechselverhältnis zwischen Mathematik und Logik und sieht hier einen neuralgischen Punkt:

„Und eine Umgestaltung der Logik? Läßt sich die Logik überhaupt umgestalten? Irgendeine geschriebene oder formalisierte Logik wohl, eine solche kann fehlerhaft oder zu eng sein, nicht aber die reine Logik als solche, die Logik, der man sich als denkendes Wesen unterwerfen muß.“

Finsler geht also – acht Jahre vor Gödels Unvollständigkeitssatz – auf die Schwächen der formaliserten Logik ein. (In einer weiteren Arbeit wird er sogar einen zentralen Gedanken Gödels antizipieren.)

Finsler benennt auch den Kern der mengentheoretischen Antinomien:

Wie kommt es oder wie ist es möglich, daß es Dinge gibt, die nicht zu einer Menge zusammengefaßt werden können?

Unser Resultat dazu lautet ja (siehe Kapitel 3): Ein Element der Russell-Menge entsteht, wenn ein irreduzibles Abstraktum als Konkretum gesetzt wird.

Der letzte Teil der Antrittsvorlesung enthält bereits eine Vorankündigung der Finslerschen Mengenlehre. Er ist sich zu diesem Zeitpunkt sicher, zu einer widerspruchsfreien Mengenlehre gelangt zu sein.

Betrachten wir in diesem Zusammenhang sein Schlußwort:

„Auf jeden Fall aber, glaube ich, steht das Ergebnis fest, daß alle Widersprüche tatsächlich nur scheinbar sind; die Mathematik als solche ist widerspruchsfrei, es gibt noch eine Wissenschaft, in der nichts gilt als die reine Wahrheit.“

Willkommen in einer (mathematischen) Welt ohne Widersprüche!

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Kleine Küchenweisheiten – Giordano Bruno und die Pizza improvvisato

»Du hast die Tomatensauce ohne passierte Tomaten gemacht?«
»Aber dafür mit passierter Paprika.«
»Orrr!«
»Warum Orrr? Ich dachte, es geht um’s Prinzip.«

Eine nicht selten gebrauchte Formulierung: »Es geht doch um’s Prinzip.« Was meinen wir eigentlich damit? Was ist der philosophische Begriff eines Prinzips?

Der italienische Philosoph Giordano Bruno hat sich in seinem Werk „Von der Ursache, dem Prinzip und dem Einen“ (1584) damit beschäftigt. Bevor wir seine Ansicht erörtern, fertigen wie zunächst eine improvisierte Pizza an.

Es gibt viele Rezepte für Pizzateig, aber nur wenige, die einen nie im Stich lassen. Die genaue Dosierung ist dabei absolut wichtig – ich rate zum Einsatz einer Küchenwaage.

Folgende Zusammensetzung pro (großer) Portion:

  • 250 Gramm Mehl
  • 2 Gramm Hefe
  • 1 EL Olivenöl
  • 150 ml Wasser, lauwarm
  • 5 Gramm Salz

Ein Pizzateig erfordert darüber hinaus Liebe und Zeit. Ich siebe zum Beispiel das Mehl und füge – Prise für Prise – die Hefe hinzu. Nach dem Kneten bleiben die Rührstäbe stecken:
teig
Eine Konsistenz, die beinahe geeignet wäre, den Beton der Leverkusener Rheinbrücke zu flicken.

Nun fehlt noch die Pizzasauce. Was tun, wenn man keine passierten Tomaten im Haus hat?

Wenn wir uns an Polpa di pomodoro orientieren, also pürierte Tomaten, dann kann man zumindest improvisieren. Pürierte Paprika plus Tomatenmark.
Dazu eine Paprika in kleine Stücke schneiden – etwas Zwiebel dazu – und ordentlich durchkochen. Danach mit einem Mixer zerkleinern:
paprika
{Das Bild zeigt die Probanden vor der endgültigen Zerkleinerung.}
Im Zuge dieses Arbeitsschrittes fliegen kleine Paprikastücke in der Küche umher. Wenigstens kein langweiliges Leben.

Dann ein ganz klein wenig Wasser und ca. 80 Gramm Tomatenmark dazugeben und kurz aufkochen. Ein Teelöffel Currypaste hat darüber hinaus noch niemandem geschadet.
sauce
Fertig ist die Pizzasauce.

Als Belag gibt es in der spartanischen Ausstattung Pilze und Zwiebeln.
pizza-fertig
Optisch nicht zwingend preiswürdig – geschmacklich aber eine feine Sache. Ehrlich.

Nun wollen wir aber hören, was Bruno zum Begriff des Prinzips zu sagen hat.

DISCONO. Nun erklärt, welchen Unterschied ihr zwischen Ursache und Prinzip in der Natur macht.
TEOFILO. Wiewohl gelegentlich der eine Begriff statt des anderen gebraucht wird, ist dennoch – genau genommen – nicht jedes Ding, das Prinzip ist, auch Ursache: denn der Punkt ist das Prinzip der Linie, aber nicht ihre Ursache; der Augenblick ist das Prinzip der Tätigkeit, [jedoch nicht deren Ursache]; der Zeitpunkt am Anfang der Bewegung ist das Prinzip der Bewegung, aber nicht ihr Ursache; die Voraussetzungen sind das Prinzip der Beweisführung, aber nicht deren Ursache. Daher ist >Prinzip< gegenüber >Ursache< der allgemeinere Begriff.

Der Physiker wird bei dieser Textstelle vielleicht an Symmetriegruppen und das Noether-Theorem denken. Der Mathematiker assoziiert den Begriff des infinitesimal Erzeugenden. Und der Philosoph denkt an Cusanus und seine Beschreibung der Beziehung von Punkt und Linie.

Wir konzentrieren uns hier nur darauf, dass der Begriff der Ursache hinter den Begriff des Prinzips zurücktritt. Das ist philosophisch keine Kleinigkeit – man denke nur an das berühmte Vier-Ursachen-Schema des Aristoteles.

Tatsächlich wurde der Begriff einer Ursache schon zu Beginn der 16. Jahrhunderts einer kritischen Revision unterzogen – nicht zufällig parallel zum Aufkommen moderner Naturwissenschaften.

Der Philosoph Agostino Nifo führt in seinem Kommentar zur Physik des Aristoteles von 1506 den Begriff der vermutenden Beweises an („demonstratio coniecturalis“). Das ist nichts weniger als ein Grundstein für eine Naturwissenschaft, die mit Hypothesen arbeitet und diese verifiziert bzw. falsifiziert.

Was ist nun der Unterschied? Fragen wir nur nach Ursachen und Wirkungen, sind wir schnell in einer Kette aus Ursachen und Wirkungen verstrickt. Jede Ursache hat ihrerseits Ursachen etc.
Der Philosoph soll einen Schritt zurücktreten und sich die Struktur dieser Kette anschauen. Wenn er Glück hat, wird er sie als transzendentales Schmuckstück erkennen.

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Finslers Mengenlehre – Isomorphie und Logik. Kapitel 4.

Wir sind zu folgendem Resultat gekommen:
Ein Element der Russell-Menge entsteht, wenn ein irreduzibles Abstraktum als Konkretum gesetzt wird.

Mit einfachen Worten ausgedrückt, bedeutet das, dass man Mengen und Elemente nicht immer auf eine Ebene setzen kann. Es kann zu Widersprüchen führen, wenn man bestimmte Mengen wie ein Element behandelt.

Es ist also (wie in der Grafik in Kapitel 3 angedeutet) eine Art Meta-Ebene zu berücksichtigen.
Dazu führt Finsler den Begriff des Systems. Das System umfasst Mengen und Elemente, mit denen wir operieren. Das System selbst allerdings taucht nicht als Element auf.

Wir kommen nun zum ersten Axiom.

I. Axiom der Beziehung
Für beliebige Mengen N und M ist stets eindeutig entschieden, ob M die Beziehung β zu N besitzt oder nicht.

Nach den etwas verwirrenden Antinomien ist das nun mal ein Satz von absoluter Klarheit. Wir betreiben Mathematik in einem Universum (dem System Σ) geklärter Beziehungen.

Als Anhang zum ersten Axiom noch folgende Definitionen:

Wenn eine Menge M zu einer Menge A die Beziehung β besitzt, oder kurz, wenn M β A gilt, so soll A ein Element von M heißen.

Ein Ding von Σ, welches die Beziehung β zu keinem Ding besitzt (nicht nur zu keinem andern), soll eine Nullmenge heißen.

Ein Ding von Σ, welches die Beziehung β allein zu einer Nullmenge besitzt, welches also die Nullmenge als einziges Element enthält, werde als Einsmenge bezeichnet.

Damit haben wir schon einiges an Rüstzeug für die Mengenlehre zusammen.
Welchen Sinn macht aber nun das Axiom? Wird damit nicht schon etwas zu viel vorausgesetzt?
Man spürt bei Finsler sehr stark das Bemühen um Klarheit und den Willen Antinomien zu vermeiden. Ob es Alternativen zu Axiom I gibt, kann hier nicht weiter erörtert werden.

Spannend aber wird es, wenn wir Finslers Mengenlehre mit dem Blick der Neurowissenschaften betrachten.
„Mengen“, „Zusammenfassungen“ oder „Abstraktionen“ werden in den Neurowissenschaftlern durch Gruppen von Neuronen (neural assemblies) repräsentiert, die sich in ihren Aktivitätsmustern (synfire chains) synchronisieren.

Wenn wir einfache Sinneseindrücke (etwa (a) die Farbe rot und (b) die Form rund) als Elemente betrachten, so gibt es eine neural assembly N (hier als Menge aufgefasst), die a und b als Elemente enthält und das abstrakte Konzept „Clownsnase“ repräsentiert. Geltung definiert sich aus der neuronalen Verdrahtung heraus und ist ganz pragmatisch aufzufassen.

In diesem Sinne passt Finslers Mengenlehre sehr gut zu einer Neuro-Logik im Sinne von Olaf Breidbach:

„Die soweit sichere Realität weiß sich demnach zunächst zurückgesetzt. Aus ihren Bestimmungen in Geltung gesetzt, findet sich die Welt in ihren Konturierungen allein in einer internen Realität, deren Bestimmtheit die Rationalität eines bloß Funktionalen, die Beliebigkeit eines reinen Pragmatismus, in einen festen Geltungshorizont überführt.“ [1], Seite 167

Literatur
[1] Breidbach, Olaf: Deutungen. Zur philosophischen Dimension der internen Repräsentation. Velbrück Wissenschaft. Weilerswist 2001. 194 S.

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Finslers Mengenlehre – Isomorphie und Logik. Kapitel 3.

Womit soll die Mathematik beginnen? Was sind die Fundamente, die unumstößlichen Gedanken, die als Grundlage dienen sollen? Eine Möglichkeit besteht darin, die Aussagenlogik als Basis zu nehmen und darauf dann eine Mengenlehre zu errichten. Was immer bei der Mengenlehre dann als Ergebnis herauskommt, die Prinzipien der Aussagenlogik können nicht mehr hinterfragt werden. Aber sind nicht die elementaren Inhalte des Denkens die „Dinge“ und „Mengen“?

Hier ist der Zugang anders. Wir beginnen bei Null und haben am Anfang nichts anderes zur Verfügung als unseren gesunden Menschenverstand und ganz wenige – aber unverzichtbare – Prinzipien des Denkens.

Wir befinden uns noch immer im Jahr 1926 und versetzen uns in die Position von Paul Finsler. Für ihn ist dieses unverzichtbare Prinzip das tertium non datur, wie er gleich zu Beginn der Arbeit klarstellt.

„In dieser Arbeit wird der Standpunkt eingenommen, daß die exakte Mathematik so weit reicht, wie der Satz vom ausgeschlossenen Dritten.“

Neben diesem Grundprinzip untersucht der Platoniker Finsler die Struktur der naiven Mengenlehre, die nicht klar zwischen Dingen und Mengen unterscheidet. Die nachstehende Grafik fasst die Erkenntnisse aus Kapitel 1 und 2 zusammen und illustriert dabei den Unterschied von β und ∈:
Diagramm Finsler

Betrachten wir die folgenden drei Mengen:
A= {Hund}
B= {Katze}
C= {Hund, Katze}

Anstelle des Buchstabens C hätten wir auch das Wort HAUSTIER zur Bezeichnung der Menge wählen können. Offenbar ist C aus den Elementen der Mengen A und B gebildet.

Finsler formuliert eine der Forderungen der naiven Mengenlehre:

„Es soll zu beliebig gegebenen Dingen stets ein eindeutig bestimmtes Ding existieren, welches die Beziehung β zu den gegebenen Dingen und nur zu diesen besitzt.“

Übertragen auf unser Beispiel heißt das, es soll auch ein Ding namens HAUSTIER existieren. Wie im Schaubild dargestellt, ist HAUSTIER ein ideelles Ding – quasi eine platonische Idee. Das, was ontisch existiert, nennt Finsler eine Gesamtheit. „Ein Hund und eine Katze“ bilden also so eine Gesamtheit.

Nun ist es keineswegs unproblematisch, wenn eine beliebige Zusammenfassung als Ding behandelt wird. Betrachten wir dazu Finslers Analyse der Antinomien der naiven Mengenlehre:

„Sind a und b irgend zwei verschiedene Dinge des Bereichs, so müßten in dem Bereich drei verschiedene Dinge A, B, und C existieren, derart, daß A die Beziehung β nur zu a, B zu b und C zu a und b besitzt. Dann kann aber nicht gleichzeitig A β A, B β B und C β C gelten, denn daraus würde A=a, B=b und C= a oder b folgen, während doch C von A und B verschieden sein muß. Es wären also sicher Dinge vorhanden, welche die Beziehung β nicht zu sich selbst besitzen, der Bereich kann aber wieder kein Ding N enthalten, daß die Beziehung β zu allen und nur zu diesen Dingen besitzt.“

Wichtige Anmerkung: Finslers Formulierung, es gibt ein A, für das nicht A β A gilt, entspricht der Aussage, es gibt ein A für das gilt: A ∉ A (siehe dazu Russells Antinomie zu Beginn von Kapitel 1).

Der Widerspruch beginnt also damit, dass wir unsere Menge HAUSTIER als Ding C auffassen.

Im Prinzip generiert Finsler ausgehend von zwei Elementen (a und b) eine Russel-Menge C.

A besitzt die Beziehung nur zu a.
B besitzt die Beziehung nur zu b.
C besitzt die Beziehung nur zu a und zu b.

Interpretieren wir nun ein Element als eine Frage und die Beziehung als eine Antwort. Die Zugehörigkeit zu einer Menge bedeutet ja ganz elementar, dass eine Eigenschaft – ein Attribut – zugewiesen wird.

A ist eine Antwort nur auf a.
B ist eine Antwort nur auf b.
C ist die eine Antwort nur auf a oder b.

HUND ist eine Antwort nur auf Hund.
KATZE ist eine Antwort nur auf Katze.
HAUSTIER ist eine Antwort auf Katze und eine Antwort auf Hund.

Die Kategorie HUND ist nun selbstreferentiell definiert. In ausführlicher Notation:

Die Antwort auf Hund ist HUND.
Die Antwort auf HUND ist Hund.
HUND=Hund

HUND β HUND

Analoges gilt auch für die Kategorie KATZE mit dem Resultat:

KATZE β KATZE

(Zurück zu Finlers Ausführung haben wir also bis hier: A β A und B β B.)

Nun ist HAUSTIER entweder die Antwort auf Katze oder auf Hund.
HAUSTIER ist nicht die Antwort auf irgendeine Frage C.

KATZE, HUND und HAUSTIER sollen aber verschiedene Dinge sein.

Können also A β A und B β B und C β C gleichzeitig gelten?

Haustier kann eben nicht die Antwort auf Haustier sein, sondern nur auf Katze oder Hund.
Dann kann C β C nur C=Katze oder C=Hund bedeuten.

HAUSTIER ist nicht selbstreferentiell definiert – es gilt eben nicht C β C – und damit Element der Russell-Menge.

Das ist natürlich bemerkenswert. Wir wurden also Zeuge der Entstehung einer Russell-Menge. Was genau ist da nun passiert?
Offenbar stellt die Kategorie HAUSTIER ein Abstraktum dar.
Technisch gesehen gilt das auch für die Kategorie HUND, die allerdings durch ein einzelnes Konkretum (Hund) definiert ist. Wegen HUND=Hund haben wir es also mit einem Abstraktum zu tun, das sich auf ein Konkretum reduzieren lässt.
HAUSTIER (oder die Menge C in Finslers Beispiel) ist ein irreduzibles Abstraktum.

Wir stellen also fest:

Ein Element der Russell-Menge entsteht, wenn ein irreduzibles Abstraktum als Konkretum gesetzt wird.

Ein anderes Wort für ein irreduzibles Abstraktum wäre platonische Entität.

Im nächsten Kapitel wenden wir uns endlich dem ersten Axiom zu.

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Finslers Mengenlehre – Isomorphie und Logik. Kapitel 2.

Wir schreiben das Jahr 1926. Paul Finsler hat gerade den ersten Teil seiner Mengenlehre veröffentlicht. Die Russelsche Antinomie war zu diesem Zeitpunkt schon lange bekannt. Mathematiker wie Ernst Zermelo beschäftigten sich zu dieser Zeit dennoch weiter mit Mengen, die sich selbst als Element enthalten (x ∈ x). Auch Finsler geht in seiner Arbeit auf diese Konstrukte ausführlich ein [1].

Wir wollen genauer verstehen, wie man sich eine Menge, die sich selbst als Element enthält, vorstellen kann. Da wir dazu den Begriff der Isomorphie benötigen, sei hier schon vorab Finslers 2. Axiom zitiert:

II. Axiom
Isomorphe Mengen sind identisch.

Wörtlich übersetzt heißt das: Mengen, die die gleiche Gestalt haben, sind identisch. Finsler baut seine Definition auf den Begriff der umkehrbar eindeutigen und beziehungstreuen Abbildung auf [2].
Betrachten wir dazu die Mengen A und B:
A = {1, 2, 3, 4}
B = {1, 4, 9, 16}
Die Quadratfunktion ordnet hier jedem Element von A genau ein Element von B zu und umgekehrt ordnet die Wurzelfunktion jedem Element von B genau ein Element von A zu.
Es kommt also auf Eindeutigkeit und Vollständigkeit der Beziehung an.

Im ersten Kapitel seiner Arbeit behandelt Finsler die Antinomien. Die naive Mengenlehre fordert, dass zu beliebig gegebenen Dingen stets eine eindeutig bestimmte Menge existiert, die die Beziehung β zu den gegebenen Dingen und nur zu diesen besitzt. Dies führe zum Widerspruch:

„Ist nämlich irgendein Bereich von Dingen vorgelegt, zwischen denen eine einmehrdeutige Beziehung β besteht, so nehme man diejenigen Dinge A des Bereichs, welche die Beziehung β nicht zu sich selbst besitzen, für die also nicht A β A gilt. Dann gibt es in dem Bereich kein Ding N, welches die Beziehung zu diesen und nur diesen Dingen besitzt, denn sowohl die Annahme N β N als auch die gegenteilige Annahme führt sofort zum Widerspruch.“

Aufmerksame Leser erkennen hier eine Variante der in Kapitel 1 besprochenen Russelschen Antinomie.
Sind damit die ominösen Mengen, die sich selbst enthalten, vom Tisch? Nicht ganz, wie Finsler im nächsten Absatz seiner Erörterung darlegt:

„Wenn die Forderung nur für den Fall zu gelten braucht, daß die Anzahl der gegebenen Dinge von Null verschieden ist, so ist sie erfüllt für einen Bereich, der ein einziges Ding J enthält, das die Beziehung β zu sich selbst besitzt.“

Für so eine J-Menge gilt dann: J = {J} bzw. J β J.
Aber was soll man sich darunter nun konkret vorstellen?

Betrachten wir mal die Menge der Dienstage:

D = {26.04.2011, 03.05.2011, 13.09.2011, 11.09.2001, …}

Ein singuläres Datum ist natürlich der 11. September 2001. Können wir uns also eine Menge 9/11 vorstellen, die durch dieses eine Element umfassend definiert ist?
Ist 9/11 = {11.09.2001) eine J-Menge?
Der Terroranschlag auf das Redaktionsbüro von Charlie Hebdo am 7. Januar 2015 wurde von einigen Journalisten der gleichen Kategorie wie 9/11 zugeordnet- wie schon zuvor Attentate in London und Madrid.
Es gibt also eine Zusammenfassung
9/11 = {11.09.2001, 07.01.2015, …} und somit keine Übereinstimmung von Menge und Element.

Wir hatten uns eine Menge als Operation eines Subjekts vorgestellt. Und diese Operation soll nun umfassend, eindeutig und selbstbestimmt sein. Offenbar sind solche J-Mengen im Universum eher selten anzutreffen.

Ein Kandidat stammt aus der Theologie:
GOTT = {Gott}
bzw.
GOTT β Gott

Ein weiterer Kandidat wäre das Ich-Bewusstsein im Sinne von Fichte:

ICH = {Ich}
bzw.
ICH β Ich

Damit könnte man zu einer Formalisierung von Fichtes Wissenschaftslehre ansetzen [3]:
∃ Ich | ICH β Ich

Bemerkenswert ist nun, dass bei dieser Art der Darstellung GOTT und ICH im Sinne von Finsler isomorph – und gemäß Axiom II identisch – sind. Der deutschen Idealismus hat also unter dem Strukturaspekt stets in Sichtweite der Theologie verweilt.

Im nächsten Kapitel beenden wir die Betrachtung der Antinomien.

Note Added in Proof:
Nach unserer Interpretation aus Kapitel 1 (Element=Objekt, Menge=Subjekt) läuft die Identität von Menge und Element auf die Identität von Objekt und Subjekt hinaus. Beispiele für Subjekt-Objekte sind Gott und Ich. (Ggf. wäre hier noch Goethes Naturbegriff zu ergänzen).

Anmerkungen
[1] Heue werden solche Konstrukte i.A. durch das Fundierungsaxiom ausgeschlossen.
[2] Die heute geläufigen Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv kamen erst in den 30er Jahren auf.
[3] Der Existenz-Quantor ∃ wäre mit der Forderung assoziiert, dass das Ich zur intellektuellen Anschauung befähigt ist.

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Finslers Mengenlehre – Isomorphie und Logik. Kapitel 1.

Warum sollte man sich im Jahr 2015 noch mit Mengenlehre beschäftigen? Handelt es sich dort nicht vorrangig um recht triviale Strukturen, die einen Philosophen nicht sonderlich interessieren müssen?

Wenn man Glück hat und einen didaktisch begabten Mathematiker wie in diesem Lernvideo von Christian Spannagel findet, dann ist man bereits nach etwa zehn Minuten mit den Grundlagen vertraut.

Dieser wunderbaren Klarheit hat der britischer Philosoph und Mathematiker Bertrand Russell ein jähes Ende bereitet.
Russel konstruierte die „Menge R aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten“ : R := {x | x ∉ x}

Gehört die Menge R nun auch als Element zur Menge R?
Nehmen wir an, es wäre so. Jedes Element hat aber per Definition die Eigenschaft von R zu erfüllen – sich eben nicht selbst zu enthalten:

R ∈ R ⇒ R ∉ R

Nehmen wir an, es wäre nicht so. Dann erfüllt es ja die Eigenschaft und wäre damit per Definition doch ein Element der Menge R:

R ∉ R ⇒ R ∈ R

Beide Gedankengänge zusammengefasst führen zu dieser eigentümlichen Äquivalenz:

R ∈ R ⇔ R ∉ R

Das ist natürlich eine Antinomie, da zwei zueinander in Widerspruch stehende Aussagen gleichermaßen gut begründet sind.
Eine ähnlich paradoxe Struktur begegnete uns schon in dem Beitrag Undenkbare Negation. Über Dedekinds unendliche Systeme.

Eine Ursache dieser Probleme liegt darin, dass man in den Anfangstagen der Mengenlehre jede Art der Definition einer Menge zugelassen hat und somit eine ungeregelte oder unbeschränkte Mengenbildung praktiziert wurde.

Die Gretchenfrage lautet seitdem: Wie kann man eine Mengenlehre gestalten, in der solche Widersprüche nicht mehr vorkommen?
Hier wird es nun richtig spannend.

Denn einer der wenigen Ansätze, die genau das versprechen, ist fast in Vergessenheit geraten. Es handelt sich dabei um die Arbeit Über die Grundlegung der Mengenlehre von Paul Finsler. Wie werden nun im Rahmen einer Serie seine Arbeit im Detail beleuchten.

Ich wurde auf Finsler aufmerksam durch die fabelhafte Dissertation MATHEMATISCHER PLATONISMUS. Beiträge zu Platon und zur Philosophie der Mathematik. von Gregor Schneider. Dort findet sich in Kapitel 5 eine Zusammenfassung der Finslerschen Mengenlehre. Schneider bringt die Besonderheit dieses Ansatzes gut auf den Punkt:

„Was den Mathematiker erstaunt, den Logiker misstrauisch und den Philosophen interessiert macht, sind die Beweise zur Widerspruchsfreiheit und Vollständigkeit der Axiome.“
Gregor Schneider

Im Zentrum der Finslerschen Mengenlehre steht der Begriff der Isomorphie. Gerade dieses Merkmal ermöglicht es uns in späteren Kapiteln eine Brücke zur Cognitive neuroscience zu bauen.

Heute geht es um die einfachsten Grundbegriffe.
Betrachten wir die Element-Relation:

7 ∈ N
N ∋ 7

Die obere Zeile bedeutet: die Zahl 7 ist Element der Menge der natürlichen Zahlen. Die zweite Zeile bedeutet: die Menge der natürlichen Zahlen enthält die Zahl 7. Dies suggeriert eine Symmetrie – eine Struktur, bei der Menge und Element austauschbar sind.

Hier setzt Paul Finsler eine erste Unterscheidung an.
Die klassische Relation schreibt er mit dem griechischen Buchstaben ε:

7 ε N

Er definiert nun den zweiten Fall als Beziehung β einer Menge zu ihren Elementen:

N β 7

Ist das nun lediglich eine andere Schreibweise oder verbirgt sich hier etwas Grundsätzliches?
Ein kleiner philosophischer Exkurs mag aufweisen, dass es sich tatsächlich um eine grundsätzliche Fragestellung handeln könnte. Betrachten wir doch „N β 7“ einfach mal als einen Satz. Nicht als Satz im mathematischen Sinne, sondern als grammatischen Satz mit einer Struktur

Subjekt – Prädikat – Objekt.

Das führt zu folgender Äquivalenz:

Menge ⇔ Subjekt
Element ⇔ Objekt

Nun erscheint es nicht ganz klar, in welchem Sinne Mengen Subjekt sein könnten. Im Sinne von Cantor ist eine Menge M eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten.
Damit kann man klarer formulieren: Eine Menge ist eine Operation (hier: Zusammenfassung) eines Subjekts.

Betrachten wir zwei Beispiele:
1. Die Menge H der Haustiere:
H := {Hund, Katze, Wellensittich}
2. Die Menge W des Waldes:
W := {Baum_1, Baum_2, Baum_3, … , Baum_7345}.

Das erste Beispiel deutet bereits an, dass eine Zusammenfassung auch eine Abstraktion darstellen kann. Im zweiten Fall fragt sich, ob der Wald W im Prinzip identisch mit den vielen Bäumen ist.
Dazu Finsler:

„Noch weniger aber darf man eine Menge, die viele Elemente enthält, mit dem Inbegriff aller dieser Elemente verwechseln. „Viele Dinge“ sind nicht ein Ding und dürfen nicht mit einem Ding identifiziert werden. … Ein Wald, als Einheit aufgefaßt, ist nicht identisch mit den Bäumen, aus denen er „besteht“: man geht zwar in den Wald, aber nur zwischen die Bäume. [1]“ (Seite 687)

Es zeigt sich also, dass Cantors Begriff der Zusammenfassung für den Sachverhalt zu schwach ist. Daher fordert Finsler:

„Es soll eine Menge nicht eine Zusammenfassung sein, sondern ein ideelles Ding, das gewissen Axiomen genügt, das aber in enger Analogie steht mit den anschaulichen Zusammenfassungen, und zwar insbesondere mit denen, die oben als „reine Mengen“ bezeichnet wurden.“ (Seite 690)

Diese allerersten Gedanken mögen illustrieren, was Finsler im Sinne hatte: ein klare Struktur, bei der phantasievolle Konstruktionen wie die Russell-Menge ausgeschlossen sind.

Im Prinzip strebt Finsler eine Logik an, die das Denken in seiner Gesetzmäßigkeit isomorph abbildet. In diesem Zusammenhang relevant ist das Projekt von Uwe Petersen [2] zur Formalisierung der Hegelschen Logik. Das Projekt führte nicht zum Erfolg und es könnte sich lohnen, hier genauer nach den Gründen zu fragen. Vielleicht lohnt es sich, einen Schritt vor Hegel zurückzugehen und die Subjekt-Objekt-Relationen in Schellings System des transzendentalen Idealismus zu betrachten (siehe dazu auch Quantenmechanische Deduktion des transzendentalen Idealismus.

In den nächsten Kapiteln betrachten wir die Axiome der Finslerschen Mengenlehre.

Anmerkungen
[1] Das erinnert an die Segeltuch-Metapher im PARMENIDES. Als Platoniker dürfte Finsler die Textstelle gekannt haben.
[2] U. Petersen (2009): 35 Thesen zur Grundlegung einer formalen dialektischen Logik – nebst Kommentaren. DILEMMATA: Jahrbuch der ASFPG (4), 135-207.

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Kleine Küchenweisheiten – Schopenhauer und Raktabija

Heute wollen wir einen Eintopf Raktabija zubereiten und uns ganz nebenbei über Arthur Schopenhauer unterhalten.
Das Jahr 2014 war von Verlusten geprägt. Martin Heideggers Stern ist endgültig untergegangen und der Komet Quentin Meillassoux verglüht bereits. Schopenhauer und Nietzsche sind angeschlagen, halten sich aber noch wacklig stehend in den Seilen.

Schopenhauer also.

Schopenhauer

Wir könnten es uns leicht machen und einfach eine seiner Lieblingsspeisen kochen – ein feines Chaudeau (süßer Weinschaum aus Zucker, Eigelb und Weißwein) zubereiten. Das wäre wohl lecker, brächte uns in Sachen Philosophie nicht weiter.

Schopenhauer war ein Anhänger asiatischer Religionen – da bietet sich die fernöstliche Küche an. Im 19. Jahrhundert kamen asiatische Religionen quasi in Mode – es wurde ein verklärtes, idealistisches Bild gezeichnet. Eine Unterscheidung zwischen Buddhismus und Hinduismus wurde zum Beispiel eher selten getroffen.
Uns interessieren hier besonders die Upanischaden, eine Sammlung philosophischer Schriften des Hinduismus.

Kulinarisch geht es um einen asiatischen Eintopf mit einer sehr scharfen Sauce, die aus Kokosmilch zubereitet wird. Jede neue Kreation gewährt die Freude, einen Namen für das Rezept auswählen zu dürfen. Schärfe ist bei mir assoziiert mit Pizza Diavolo oder Pizza Vulcano. Der Name sollte auch die dunkle Seite von Schopenhauers Welt als Wille abbilden.
Die Wahl fiel auf den Gott Raktabīja [rakta=Blut, bīja=Saat], von dem es heißt das aus jedem seiner Blutstrofen aus einer Wunde neue Raktabījas entstehen. Erst die Göttin Kali („Die Schwarze“) konnte ihn stoppen, indem sie seine Bluttropfen aufleckte.
Jedes Tröpfchen zählt, könnte man sagen. Mit dieser kulinarischen Metapher geht’s ans Werk.

Wir übernehmen Elemente der thailändischen Küche, wohl wissend, das nur 0,1 % der Bevölkerung dort (etwa 65.000) Hindus sind. Unsere Zutaten sind Kartoffeln, Karotten, Schalotten, geschnetzteltes Hühnerbrustfilet und für eine feine Fruchtnote eine Kiwi.

eintopf-start

Kartoffeln und Karotten werden vorgebraten wie in Kleine Küchenphilosophie. Oder: Tartufolo und Heidegger beschrieben.

Das wichtigste am Eintopf ist ohnehin die Sauce. Basis ist eine 165-ml-Dose Kokosnussmilch. Hier gibt es nicht selten eine Überraschung: nach dem Öffnen der Dose zeigt sich, dass die Milch eine recht feste Konsistenz hat. Kokosöl hat einen Schmelzpunkt zwischen 18 und 23 °C und die Dose sollte im Zweifelsfall vorher im Wasserbad leicht erhitzt werden. Nur was macht man nun mit der bereits geöffneten Dose? Hier gibt es nur zwei Möglichkeiten: entweder verzweifeln oder einen lustigen Tweet darüber schreiben.

In einer idealen Welt ist die Kokosnussmilch schön flüssig und wir schöpfen zwei Esslöffel von der oberen Schicht ab und erhitzen in einem kleinen Töpfchen (maximale Power). Nach einer Minute rühren wir einen Esslöffel Tikka Masala Paste unter. (Dies ist der neuralgische Punkt der ganzen Aktion). Dann die Hitze reduzieren und nach und nach die restliche Kokosmilch und ein halbes Pilsglas Wasser unterrühren. Nach fünf Minuten Rawit Chilis zufügen und wenige Minütchen ziehen lassen. Dann das oben gebratene Zeugs zufügen – fertig.

eintopf-ende

Guten Appetit!

In einer idealen Welt durchdringt unser Schärfegott Raktabija die gesamte Speise und nach und nach auch unseren Körper.
Betrachten wir dazu einen Auszug aus den Upanischaden:

DIE LEHRE DES SHANDILYA
»Ja, mein Lieber«, sprach er. »Bringe mir von da eine Nyagrodhafrucht.«
»Hier ist sie, Ehrwürdiger.«
»Spalte sie.«
»Sie ist gespalten, Ehrwürdiger.«
»Was siehst du da?«
»Ganz feine Körner, Ehrwürdiger.«
»Spalte eines von diesen.«
»Es ist gespalten, Ehrwürdiger.«
»Was siehst du da?«
»Nichts, Ehrwürdiger.«
Der sprach zu ihm: »Der feinste Stoff, den du nicht wahrnimmst, aus dem besteht so der große Nyagrodhabaum. Glaube, mein Lieber, dieser feinste Stoff durchzieht dies All, das ist das Wahre, das ist das Selbst, das bist du (tat twam asi) , Shvetaketu.«

Der Text bezieht sich auf die Banyan-Feige. Der Banyanbaum wird von Hindus als heiliger Baum verehrt.

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{Photo taken by User:Ahoerstemeier on April 11, 1998 with a Olympus Mju 2.}

Der Text ist eine Absage an das (klassische) materielle Weltbild. Das tat twam asi war für Schopenhauer eine Brücke zum Panpsychismus. Was ist nun davon zu halten?
Für die moderne Physik ist die Sichtweise der Unpanischeden keineswegs fremd. Die Körner der Banyan-Feige wären als Schrödinger-Wellenfunktion Ψ darzustellen und das Schmecken des Körnchens wäre eine Messung der Amplitude |Ψ|². So auch die Körnchen aus unseren Rawit Chilis. Ein Konzert sich überlagernder Wellenpakete mit der Melodie tat twam asi.

Ein Kommentar

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Kleine Küchenphilosophie. Oder: Tartufolo und Heidegger

Liebe geht durch den Magen – wie könnte es bei der Liebe zur Weisheit anders sein?

Heute möchten wir aus Doldenblütlern und Nachtschattengewächsen ein schmackhaftes Mahl bereiten und uns ganz nebenbei über Philosophie und die Welt unterhalten.
Was haben die berühmten Philosophen eigentlich gegessen? Oft bleibt von einem Menschen nur die Liste seiner Werke zurück. »Sein und Zeit«, »Kritik der reinen Vernunft« oder »De la causa, principio e uno« sind klangvolle Titel – doch welche Sorte Fleisch wurde wie zubereitet zu welchem Wein genossen? Und das Kochen endet ja nicht mit dem Kochen. Welche Anekdoten gibt es über das eine oder andere Abendessen zu berichten?

Heute beginnen wir mit Martin Heidegger, über den ich bereits in Der Fall Heidegger. Ein Urteilsspruch. und Gehirn am Ungrund. Eine kleine Heidegger-Exegese berichtete. Doch dazu später.

Die Nachtschattengewächse werden repräsentiert durch Bratkartoffeln.

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{Nachtschattengewächse, zubereitet. Vorschau}

Für eine Portion wählen wir zwei mittelgroße Kartoffeln der Sorte Belana. Die Sorte kann man sich gut merken, indem man die Chefingenieurin an Bord der Voyager assoziiert.
Wir teilen die Kartoffeln in Viertel und schneiden diese in recht dünne Scheiben.
Der Clou besteht nun darin, dass man die Kartoffeln vor dem Braten in eine Schale mit kaltem Wasser legt, denn wir wünschen Knusprige Bratkartoffeln.

Nun haben wir drei Minuten, um über das Deutschland dieser Tage nachzudenken. Es wird viel über deutsche Kultur und Überfremdung gesprochen. Wie steht es da eigentlich mit der Kartoffel? Als Abonnent der Zeitschrift Economic Botany haben wir noch gut den
Aufsatz Potato remains from a late pleistocene settlement in southcentral Chile in Erinnerung, der die heutige Republik Chile als Ursprungsland der Kartoffel benennt. Vielleicht hat das friedliche Volk der Pehuenchen, die sich unter anderem von piñones (Pinienkerne) ernährt haben, die Kartoffeln als Nahrung entdeckt.
Die Männer dieses Volkes trugen Röcke statt Hosen und Ohrringe. Diese Menschen wurden Opfer von Überfremdung. Ihr Land wurde von
Einwanderern besiedelt, die zu großen Teilen aus Deutschland stammten.

Nun können wir die Kartoffeln abtropfen lassen und ggf. noch den „Scharfmacher“ aus Grönemeyers Bochumer Lieblingscurrywurstbude zufügen:
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Wenn die Kartoffelscheiben wirklich dünn sind, reichen fünf bis sechs Minuten bei maximaler Hitze, um in der Pfanne den ganz oben abgebildeten Zustand zu erreichen.

Als Vertreter der Doldenblütler nehmen wir zwei große Mohrrüben, schälen diese und schneiden sie in Scheiben. Die angebratenen Kartoffeln werden in einem Schälchen zwischengelagert. Platz für die Karottenscheiben:
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Neben Zwiebeln runden Rawit Chilis aus dem Senegal unsere Speise ab. Während die Karotten schmoren, halten wir kurz inne. Senegal? Lebensmittel quer über Kontinente transportieren? Warum nicht aus Holland?
Bekanntlich liegt die Republik Senegal im Human Development Index nur auf Platz 163 von 187. Da darf doch die Illusion erlaubt sein, dass vom Einkauf bei real,- wenigstens ein paar Cent bei der richtigen Person landen. Senegal darf auch nicht mit einem benachbarten Schurkenstaat assoziiert werden. Präsident Chérif Macky Sall studierte Geologie, ist verheiratet und hat drei Kinder.

Bevor die Möhrenscheiben anbrennen, schneiden wir (hier: vier) maximal zwei Rawit Chilis in Stückchen.
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Länger als zehn Minuten sollten die Doldenblütler nicht brauchen. Öfters wenden und überhaupt die Szenerie im Auge behalten.
Dann Zwiebeln, angebratene Kartoffeln und die Rawits hinzugeben.

Wenn’s gut läuft sollte unsere Mahlzeit in etwa so aussehen:

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Guten Appetit!

Nun, beim Essen folgt die oben angekündigte Anekdote.
Es ist meines Erachtens recht schwer, die »richtige« Haltung zu Heidegger zu finden. Daher ist es recht hilfreich, die Berichte seiner Zeitgenossen zu studieren. Besonders vertrauenswürdig ist hier der österreichische Philosoph Günther Anders. Hier sein Bericht über ein Abendessen mit Martin Heidegger:

Er habe zwar, so berichtet Günther Anders, bei Heidegger studiert, persönlich habe er ihn aber kaum gekannt. Einmal habe er in Marburg bei Heideggers übernachtet. Nach einem einfachen Nudel-Nachtessen ließ sich die Unterhaltung zu Beginn gut an. Anders zitierte, ohne den Autor zu nennen, Voltaire: „Es genügt nicht zu schreien, man muss auch Unrecht haben“, ein Zitat, das sogar Heidegger, den Humorlosen, amüsierte. Als Anders nun erklärte, das Zitat stamme von Voltaire, machte er allerdings ein schiefes Gesicht. Der Abend war aber dann vollends verdorben, als Anders fortfuhr, natürlich gelte ganz symmetrisch auch das Wort: „Es genügt nicht zu murmeln, man muss auch recht haben“. Während Frau Heidegger nichts verstand, blickte Martin Heidegger Anders einen Moment lang hasserfüllt an. War es doch seine Taktik, durch nahezu unhörbares Murmeln eine totale Stille im Saal zu erzwingen und dadurch den Hörern einzureden, dass alles, was sie mindestens akustisch mitkriegten, auch „unverborgen“, d. h. die Wahrheit sein müsste.
Quelle

Während unsere gustatorische Wahrnehmung durch unzählige Geschmacksknospen angereichert wird, können wir nun auch unserer Wahrnehmung von Martin Heidegger eine Facette zufügen.

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Quantenmechanische Deduktion des transzendentalen Idealismus

Was ist das Ich? Was ist Bewußtsein? Diese Fragen begleiten die Philosophie seit Jahrhunderten. Einen Kulminationspunkt bei der Auseinandersetzung mit diesen Fragen findet man in Jena um 1800 (Fichte, Schelling und Hegel). Ausgangspunkt war der Versuch einer „Wissenschaftslehre“ – einer Theorie darüber, was der Mensch wissen kann (und wie er es wissen kann). Die Ausgangslage hat Immanuel Kant klar formuliert:

„Das: Ich denke, muß alle meine Vorstellungen begleiten können; denn sonst würde etwas in mir vorgestellt werden, was gar nicht gedacht werden könnte, welches ebensoviel heißt, als die Vorstellung würde entweder unmöglich, oder wenigstens für mich nichts sein.“
(Kritik der reinen Vernunft, § 16).

Was ist nun die innere Mechanik dieses „Ich denke“? Im Jahr 1800 veröffentliche Schelling sein „System des transzendentalen Idealismus“. Im zweiten Hauptabschnitt dieser Schrift wird eine „allgemeine Deduktion des transzendentalen Idealismus“ versucht.

Bei der Frage „Was ist Bewußtsein?“ haben die Neurobiologie und die Quantenphysik in den letzten Jahrzehnten neue Hypothesen aufgestellt. Diejenigen Ansätze, die sich auf Quantenphysik stützen haben durchaus systemischen Charakter – insbesondere wenn man die zugrunde liegende Mathematik unter metamathematischen Gesichtspunkten betrachtet.

Nun behandeln Schelling und die Quantenphysik eigentlich den gleichen Gegenstand: ein denken könnendes Ich-Bewußtsein. Bezüglich der Systemaspekte sollten sich also Isomorphien zeigen. Gerade in Bezug auf Schellings Deduktion werden durch diese Betrachtungsweise Inkonsistenzen sichtbar.

Bevor wir also eine quantenmechanische Deduktion starten, betrachten wir die Voraussetzungen.

Hypothese I
Wie nehmen Schellings Vorgehensweise ernst und konstatieren, dass eine Selbstbeobachtung des Ich (intellektuelle Anschauung) möglich ist. Dabei geht es weniger um eine bestimmte Technik der Introspektion als vielmehr um einen Vorgang, bei dem sich ein Subjekt selbst beobachtet und somit zum Objekt macht (die Tätigkeit des Subjekt-Objekt).

Hypothese II
Wie nehmen Ansätze aus der Neurobiologie (Stuart Hameroff) und der Quantenphysik (Roger Penrose) zur Erklärung des Bewußtseins ernst. Dazu gehört vor allem die Annahme, dass eine quantenphysikalische Beschreibung des Bewußtseins möglich sei. [Als Träger des Bewußtseins können wir uns zum Beispiel elektromagnetische Felder in der Großhirnrinde vorstellen. Gemäß E=mc² ist der elekromagnetischen Energie eine Masseäquivalent zuzuordnen, so dass über die klassische Quantenmechanik hinaus auch die Gravitationsphysik zu berücksichtigen ist.]
Wichtiger noch ist die von Roger Penrose aufgestellte Hypothese, dass das, was die klassische Quantenphysik als Messung („Kollaps der Wellenfunktion“) bezeichnet, ein ganz natürlicher Prozess ist.

Der transzendentale Idealismus behandelt eine ganze Reihe von Gegensatzpaaren:

  • Ich und Nicht-Ich
  • Objekt und Subjekt
  • Inhalt und Form
  • endlich vs. unendlich
  • analytisch vs. synthetisch.

Im Kern geht es um die Frage, wie ein unendliches Subjekt („Ich bin“) mit einem endlichen Objekt („Ich denke“) identisch sein kann.

Im Zentrum der Deduktion geht es nun um den folgenden Beweis:

„Daß die ursprüngliche unendliche Tätigkeit des Ichs sich selbst begrenze, d.h. In eine endliche verwandle (in Selbstbewußtsein), ist nur dann begreiflich, wenn sich beweisen läßt, daß das ich als Ich unbegrenzt sein kann, nur insofern es begrenzt ist, und umgekehrt, daß es als Ich begrenzt, nur insofern es unbegrenzt ist.“

Dies zu beweisen ist natürlich eine Herausforderung.

Wir starten nun Schritt für Schritt die quantenmechanische Deduktion und vergleichen unsere Erkenntnisse mit Schellings Argumentation.
Für uns ist das Ich ein elektromagnetisches Quantenfeld Ψ:
Ich := Ψ

Als solches ist es eine unbestimmte, unendlich ausgedehnte Wellenfunktion. Lesen wir dazu, wie sich Schelling das unendliche Ich vorstellt:

„Man versinnliche sich das Gesagte durch das Bild des unendlichen Raums, der ein unendliches ist, ohne Ich zu sein, und der gleichsam das aufgelöste Ich, das Ich ohne Reflexion, repräsentiert.“

Dem „Ich ohne Reflexion“ entspricht nun unser Ψ vor der Messung (das unbestimmte, unendliche Ψ).

Eine Messung ist nun stets eine Projektion, d.h. Eine endliche Bestimmung. Die Quantenphysik nutzt dazu die Mathematik des Hilbertraums (eine duale Struktur aus Raum und Dualraum).
Nehmen wir ein einfaches Beispiel: Wir möchten die horizontale Position eines Elektrons im Gehirn bestimmen. Das Elektron wird repräsentiert durch eine unendlich ausgedehnte Wellenfunktion Ψ und für den konkreten Zustand des Elektrons zum Zeitpunkt t schreiben wir |Ψ>.
Eine Messung ist nun eine Projektion p mit einem Operator O: <Ψp|
Durch Multiplikation (genauer: Skalarprodukt der Vektoren) erhalten wir einen Zahlenwert x für unsere Messung: x= <Ψp|Ψ> .
Die Messung als Bestimmung ist Projektion bzw. Negation (omnis determinatio est negatio).

Dazu Schelling:

„Aber das Ich, indem es sich anschaut, wird endlich.“

Die Wellenfunktion Ψ „kollabiert“ zu einem Skalar x, verbleibt aber nicht in diesem Zustand. Folgt man Roger Penrose, so ist dieses Kollabieren ein ganz natürlicher Prozess, der sich im Mikrokosmos fortwährend ereignet. Aus der Quantenwelt tropft fortwährend Endlichkeit heraus. Diese ständige Abfolge Ψ -> |Ψ|² -> Ψ -> |Ψ|² -> Ψ -> |Ψ|² können wir ganz im Sinne von Schelling als Werden oder Produzieren interpretieren. (Siehe dazu auch: Ewige Zeugung und Quantenkollaps).

In der Zuordnung der Terminolgie wird klar, dass das, was die Quantenphysik als Projektion (bzw. Operator) bezeichnet, bei Schelling als Schranke oder Grenze bezeichnet wird.

Was bei Schelling als aufheben der Schranke bezeichnet wird, ist die Rückkehr vom endlichen Ich |Ψ|² ins unendliche Ich Ψ: |Ψ|² -> Ψ.
An dieser Stelle beginnt Schelling nun, seine Begriffe anthropomorph aufzuladen: Er schreibt plötzlich vom „Ankämpfen des Ichs gegen die Schranke.“ [1].
Aus Sicht der Quantenphysik ist der Ansatz einer Veränderung (Erweiterung durch Ankämpfen) der Schranke nicht denknotwendig. Stellen wir uns einen im Sinne der westlich-idealistischen Vorstellung vom Buddhismus meditierenden Mönch vor. Ein Ich=Ich, dem in der Physik der einfachste Ansatz einer geradlinig-gleichförmigen Bewegung entspricht (konstanter Impuls, ohne Veränderung). Das Ich kann also ein monoton produzierendes Ich sein.

Betrachten wir nun Schellings Schlußfolgerung:

„Die Begrenztheit jenes Unendlichen ist also unmittelbar durch seine Ichheit, d.h. dadurch gesetzt, daß es nicht bloß ein Unendliches, sondern zugleich ein Ich, d.h. ein Unendliches für sich selbst ist.“

Oder in der Schreibweise der Quantenmechanik: |Ich> = |Ich|.

Allerdings haben wir damit keine Deduktion geleistet. Die Forderung nach einer einheitlichen Quantenphysik, in der sich Ψ und |Ψ| in einem Naturprozess vereinigt finden, ist zunächst nur ein Postulat. Sollte eines Tages die Vereinigung von Quantenphysik und Gravitationstheorie gelingen, stellt sich die Frage neu.

Zumindest die an sich denknotwendigen Elemente in Schellings „Deduktion“ mögen durch diese unkonventionellen Betrachtungen etwas deutlicher werden.

Anmerkungen
[1] Ähnliche anthropomorphe Aufladungen finden sich bereits 1794 bei Fichte. Mögliche Inspirationsquellen für die Leiden & Kämpfen – Metaphern finden sich beim Theosophen Jakob Böhme, der den Begriff der Qualität mit dem Begriff der Qual vermengt. Für die Philosophen um 1800 war die Freiheit „das A und O der Philosophie“. In diesem Sinne ist auch Platons Höhlengleichnis – wenn man damit Gefängnis und Eingesperrtsein assoziiert – ein Beispiel für ein Ankämpfen gegen Schranken.

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Hegel reloaded

Naturwissenschaftler, die sich mit Philosophie beschäftigen, starten nicht selten mit der Lektüre von Autoren wie Russell, Popper oder Schopenhauer und verweilen in dem durch diese Autoren aufgespannten Diskurs. So geschult finden sie zu einer Perspektive, die die Auseinandersetzung mit Hegel als unnötiges, womöglich gar unsinniges Unterfangen erscheinen lässt.
Eine Brücke zwischen den Welten baute der Philosoph und Naturwissenschaftler Olaf Breidbach. Er zeigte Parallelen zwischen den Fragestellungen einer Neurobiologie, die das Phänomen der Erkenntnis untersucht und der Naturphilosophie nach 1800 auf. Seine pointierte Einordnung Hegels sei hier ausführlich zitiert (Seite 23 in [1]):

„In seiner Logik suchte [Hegel] zu zeigen, wie das Denken der Welt in sich begründet werden kann. Dieser Versuch wurde oft mißverstanden. Denn Hegel suchte in seiner Logik nicht die Welt zu begründen, sondern unser Denken von Welt zu sichern. Angelpunkt seines Ansatzes war die Feststellung, daß sich das Denken nicht im Rekurs auf eine Naturerfahrung zu sichern vermag. Das vermeintlich Unmittelbare ist, indem wir es denken, in den Formen des Denkens formuliert. Alles ist derart … Sprache; alles ist für uns in der Logik gefangen. Welt ist für uns immer bedachte Welt; wenn wir etwas erfahren, uns darüber versichern, haben wir die Erfahrung qualifiziert, das heißt in die Formen unseres Denkens gebunden. Ergo, so Hegel, sind wir auch im Denken der Natur letztlich bei uns selbst. Um das Denken aus diesem Regreß eines immer nur auf sich selbst stoßenden Denkens hinauszuführen, versuchte Hegel das Denken an sich festzuhalten: Das Denken sollte sich in seinem Sich Denken selbst versichern.“

Somit ist die ureigenste Aufgabe einer Neurosophie benannt.
Es geht bei diesem Unterfangen nicht so sehr um das Was des Denkens sondern um das Wie. Oder – wie Breidbach formulierte:

„Es ging also zunächst nicht darum, etwas zu wissen, sondern darum, das „Wissen Können“ zu wissen.“

Dies erfordert einen radikalen Perspektivenwechsel. Konnte sich Immanuael Kant auf die Mathematik als sicheren Leuchtturm beim Navigieren durch den Ozean des Denkens verlassen, so entfällt beim Projekt der internen Repräsentation der Bezugspunkt auf ein gesichertes Außen. Und während wir bei Kant eine durch Aristoteles inspirierte statische Kategorientafel vorfinden, erfordert die Neurosophie eine dynamische, relationale Verortung von Kategorien. (Beispiele für einen derartigen Schritt finden sich bei Hartmann und Wein).

Auch die Philosophie und die Geschichte der Philosophie sind von einem derartigen Perspektivenwechsel betroffen. Betrachten wir etwa die Beziehung zwischen Marx und Hegel und legen die üblichen ontischen und ontologischen Attribute beiseite. Unserer Perspektive gerecht wird die Frage: Wie kann ich Volkswirtschaftslehre denken?

Auch bei einer gesicherten Wissenschaft wie der Physik ist es interessant, die Etymologie des Vokabulars der Quantenphysik (etwa Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren) zu sichten und – im Sinne Hegels – mit Figuren unseres Denkens in Verbindung zu bringen. Es stellt sich die Frage: Wie kann ich Physik denken?

Eine konsequente Neurophilosophie kann auch nicht vor dem Leuchtturm Mathematik Halt machen. Valentin von Braitenberg (1926 – 2011) und Olaf Breidbach (1957 – 2014) leisteten Pionierarbeit auf dem Gebiet der Neurologik. Wie kann ich Mathematik denken?
Die ersten Beiträge dieses Blogs (insbesondere [2]) verfolgen das Ziel, einzelne Facetten einer neuronalen Philosophie zu benennen.

Literatur
[1] Breidbach, Olaf: Das Anschauliche oder über die Anschauung von Welt. Ein Beitrag zur Neuronalen Ästhetik. Springer. Wien New York 2000. 147 S.
[2] Metapher und Monstranz

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