Zauberhafter Zeitvertreib

Eine Rezension zu: „Zeit der Zauberer“ von Wolfram Eilenberger

Wer sich ernsthaft mit Philosophie beschäftigt, verfolgt in der Regel ein Ziel. Dieses Ziel weist nicht unbedingt von Anfang an klare Konturen auf, sondern zeigt sich mitunter zunächst als dumpfes Gefühl. Dies kann etwa eine pazifistische Grundhaltung sein, eine unglückliche Liebe oder eine Naturerfahrung. Entscheidend sind die Schlussfolgerungen, die wir aus diesen Erfahrungen ziehen. Das bisher Vertraute – unsere innere Repräsentation von Welt, Liebe, Politik und Leben – wird fortan als uneigentlich empfunden. Auch die Wahrnehmung und die Sprache als Speicher und Vermittler der Wahrnehmung erscheinen nun uneigentlich.

So wird das Eigentliche zum Ziel. Das Eigentliche ist der Teil des Wesentlichen, den wir uns zu eigen machen. Es kann keine kurze Reise dorthin sein. Die Reise erfordert Fokussierung und lässt wenig Raum für Zeitvertreib. Manche dieser Reisenden verzichten konsequent auf den Konsum von Sekundärliteratur. Sie treffen auch bewusste Entscheidungen bei der Rezeption der Originalwerke – so lässt Arthur Schopenhauer nur die Erstausgabe von Kants Kritik der reinen Vernunft (1781) gelten. Warum aber keine Sekundärliteratur? Die Originalwerke sind Koordinaten und Kompass zugleich, sie erlauben die unmittelbare Begegnung mit einem potentiell Seelenverwandten auf der Suche nach dem Eigentlichen.

Nun hat Wolfram Eilenberger mit „Zeit der Zauberer“ ein Stück Tertiärliteratur vorgelegt. Es ist eine Darstellung des „großen Jahrzehnts der Philosophie (1919-1929)“ mit den Akteuren Wittgenstein, Heidegger, Benjamin und Cassirer. Natürlich lässt sich so ein Werk nicht ohne Zugriff auf die Sekundärliteratur kompilieren. Nach Meinung von Beobachtern lässt sich das Aroma von Safranskis Heidegger-Biographie zwischen den Zeilen deutlich schmecken. Nun formen die 402 Seiten Text ohne Frage ein erfolgreiches Buch. Doch dies wäre kaum der Fall gewesen, hätte der Autor vier kleinere Werke à 100 Seiten über die vier Protagonisten einzeln verfasst. Der Zauber des Werkes besteht in der realen und virtuellen Vernetzung seiner Figuren – angereichert mit zahllosen biographischen Anekdoten, die auch das Liebesleben umfassen.

Was ist nun von „Zeit der Zauberer“ zu halten? Kann ich eine Empfehlung aussprechen? Das ist nicht so einfach zu beantworten. Hängt es doch ab von dem Eigentlichen, das der potentielle Leser sucht sowie von seiner Erwartungshaltung.

Mein Doktorvater hat mir einst eine einfache Methode erklärt, einen wissenschaftlichen Aufsatz oder ein Buch in wenigen Sekunden zu erfassen. Man beginne die Lektüre schlicht und ergreifend mit der Durchsicht des Literaturverzeichnisses. Auf welchem Grund steht der Autor? Heute reicht schon ein Blick auf Wikipedia. Wolfram Eilenberger ist gelernter Kulturphilosoph. Wo Kulturphilosophie draufsteht, ist auch Kulturphilosophie drin. Deshalb ist auch die Enttäuschung, die bei einigen Rezensenten zum Ausdruck kommt und sich auf die mangelnde philosophische Tiefe des Werkes bezieht, unbegründet. Gerade in Bezug auf Wittgenstein und Heidegger ist und war von „Zeit der Zauberer“ kein Erkenntnisfortschritt zu erwarten.

Doch umso mehr gelang Eilenberger die Darstellung von Leben und Werk bei Benjamin und Cassirer. Bei der Darstellung Benjamins beeindrucken das Einfühlungsvermögen und die kulturelle Einordnung. Bei Cassirer begeistern die Geschichten rund um Aby Warburgs kulturwissenschaftliche Bibliothek. Allein diese beiden Aspekte reichen bereits für eine Empfehlung. In unserer Zeit bewegen die Schilderungen der subtilen Diskriminierung des jüdischen Ehepaars Cassirer in den 20er Jahren besonders. Immanuel Kants geistiger Enkel wurde 1933 aus Deutschland vertrieben und kehrte nie wieder zurück. Mit dem Ausblick auf den weiteren Werdegang der vier Männer auf der Suche nach dem Eigentlichen verlassen wir die „Zeit der Zauberer“ und sind Wolfram Eilenberger für neue Einsichten dankbar.

Betrachten wir das Werk als Kunstwerk und setzen Benjamins Kunsttheorie um, dann bedeutet die Rezeption eines Werkes stets, dieses auch nachzubilden. Lasst uns also in Gedanken selbst ein Buch über das große Jahrzehnt der Philosophie schreiben. Wo fehlt etwas? Wo würde unsere eigene Handschrift ansetzen?

Ich würde einige biographische Episoden zugunsten einer Tiefenanalyse kürzen. Wie kann man Heidegger verstehen, ohne einen Blick auf Nietzsche und Hölderlin zu werfen? Was ist Cassirer ohne Kant? Konkret wäre Nietzsche in der Zeit zwischen 1880 und 1882 zu erfassen – der Autor der Fröhlichen Wissenschaft. Noch weit von geistiger Umnachtung entfernt und gleichzeitig von Schopenhauer emanzipiert, entwickelt hier Nietzsche ein philosophisches Hauptwerk (das vielfach irrtümlich als aphoristische Sammelsurium missverstanden wird). Hier findet sich auch ein Schlüssel zum Verständnis Wittgensteins. Bei Cassirer reicht die philosophische Nabelschnur ins 18. Jahrhundert zurück und gibt ihm – stabil wie ein Stahlseil – Rückhalt für eine souveräne und widerspruchsfreie Philosophie. Dass er auch als einziger der vier Probanden eine glückliche Ehe führte, zeigt, dass der ehemalige Rektor der Universität Hamburg offenbar das Eigentliche gefunden hatte.

 

 

 

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Kafka allein in der Matrix: Über die Relevanz von Mr. Robot

Mysteriöse Männer entführen dich. Du befindest dich in einer Tiefgarage. In einer Schubkarre wird Zement angerührt. Einer der Männer greift eine Art Trichter und steckt ihn dir in den Mund. Jemand beginnt, den Zement in den Trichter zu schaufeln.

Nicht sehr schön? Diese Szene aus der zweiten Staffel der Fernsehserie Mr. Robot des kongenialen Sam Esmail lässt Serienjunkies wie mich an den eigenen Medienkonsum denken. Neben Netflix und Amazon Prime bereitet nun auch Apple einen Streamingdienst für Serien vor. Und während ARD und ZDF weiter auf etwas fokussieren, das sie Fernsehspiel nennen, findet der Serienfreund auf Metacritic viele faszinierende Serien, die von Europa aus unerreichbar scheinen. Wie also selektieren, was man gesehen haben muss?

In dieser Situation empfehle ich eine Serie, die schwer wie gehärteter Zement im Magen liegt.

Barbus etwa schreibt in seiner Kundenrezension: „Die Folgen zu sehen ist für mich eine Qual.“ Die zweite Staffel hat auf amazon zur Zeit nur 3,7 von 5 Sternen.

Und doch: Lehrt uns nicht der Theosoph Jakob Böhme durch seinen beflissenen Schüler Hegel, dass sich Qualität von Qual ableitet?

Ein kluger Rezensent schrieb, dass Sam Esmail offenbar kein zielgruppenkonformes Produkt erschaffen wollte. Die Realerfahrung des sogenannten Arabischen Frühlings und Meisterwerke wie Matrix, Fight Club, Taxi Driver und Breaking Bad standen Pate. Gesteigert wird dieser Reigen noch durch die Assoziationen der Kritiker der  Serie, die sich auf metacritic mit der 2. Staffel von 79 auf 81 Punkte gesteigert hat.

„[Showrunner and creator Sam Esmail is] a Kafka in the director’s chair.“

Verne Gay, 12.07.2016

Dem zentralen Punkt näherte sich Tom Long in seiner Rezension vom 8.7.2016:

„Mr. Robot remains one of the most dizzying, intoxicating, challenging shows on television, a gripping look at mental illness and brilliance run amok, tied to an essentially sweet, if damaged, character.“

Das ist es: Mr. Robot ist ein hoch sensibler, verletzlicher, gleichermassen empathischer wie autistischer Charakter. Einen derartigen Charakter sauber zu zeichnen, ist nicht einfach. Rainer Werner Fassbinder – inspiriert durch Douglas Sirk – konnte das. Wir hatten es mit gebrochenen Charakteren zu tun, die an einer antiqiuierten Außenwelt litten. Rechts/links und Freund/Feind waren in der alten Bundesrepublik greifbare Parameter. In einer postfaktischen globalisierten Welt, in der Verschwörungstheorie zum Konsumgut wird, ist es nicht mehr so einfach, Protagonisten auf ein moralisches Google Map zu pinnen.

Hier nimmt Sam Esmail keine Rücksicht auf uns. Kann der sensible Held abgrundtief böse sein? Who knows? Mir fällt in den bisher 22 Folgen die Abwesenheit von Glück auf. Selbst das Streben nach Glück wird diskreditiert. In einer Sequenz nimmt der Hacker Elliot Alderson – wunderbar verkörpert durch Rami Malek  – an einem Familienausflug teil. Die Szene wird als Soap Opera inszeniert, die anstatt angenehmer Erinnerungen vorrangig Gelächter hervoruft. Ja, die Zeitläufte rufen einen Malstrom ins Leben, der jeden naiven Idealismus zermalmt. Dieser Elliot Alderson ist Lichtjahre entfernt von einer Figur, für die David Guetta eine Hymne schreiben könnte. Plutonium statt Titanium.

Kontrafaktischer Zement im Bauch härtet. Und doch wartest Du auf Staffel 3. Kannst Du mich hören? Wird es 2017 titanisch, wollen wir unsere abgewetzte cogito-Spielkarte im Trump’schen Casino gegen einen sum ergo sum Freifahrtschein austauschen?

Hach. Vielleicht sollten wir wenige Tage vor Trump einfach nur den Rechner neu booten.

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Finsler und das Fundierungsaxiom

Die Mathematik gilt als eine der klarsten Wissenschaften. Bei einer so grundlegenden Wissenschaft ist zu vermuten, dass ihre Strukturen eng verbunden sind mit den elementaren Strukturen unseres Denkens. Nicht umsonst hat die Mathematik in Kants Kritik der reinen Vernunft eine Schlüsselrolle.

Für den Philosophen ist es von Interesse, den Aufbau dieser Struktur zu studieren.

Ein zentrales Fundament der Mathematik ist die Mengenlehre. Die Mehrheit der Mathematiker betrachtet die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre als den zentralen Baustein der Mathematik. Diese Mengenlehre beruht auf neun Grundannahmen (Axiomen) – gleichsam die zehn Gebote der Mathematik.

Diese neun Grundannahmen sind nicht alle gleich einsichtig. Besondere Probleme bereitet das sogenannte Fundierungsaxiom, von dem selbst Fachleute sagen, es sei ein „vergleichsweise mysteriös anmutendes Axiom“ [1].
Mit diesem Axiom wollen wir uns heute intensiver beschäftigen.

Doch zuvor rufen wir in Erinnerung, dass wir mit Paul Finslers Mengenlehre (siehe Finslers Mengenlehre – Isomorphie und Logik. Kapitel 1.) bereits eine hoch interessante Alternative kennengelernt haben.
Finsler kommt mit nur drei Axiomen aus. Die ihm bekannten Axiome hat er aus seinen Grundaxiomen abgeleitet. Mit Ausnahme des Fundierungsaxioms, das erst später publiziert wurde (siehe Zeittafel).

Zeittafel 1903 1908 1926 1930
Russells Antinomie Mengenlehre Zermelo Mengenlehre Finsler Fundierungsaxiom

Was hat es nun mit dem Fundierungsaxiom auf sich? In der Sprache der Mathematik lautet es:

∀ x (x ≠ ∅ → ∃ (y ∈ x) x ∩ y = ∅)

Keine Sorge! Wir wollen das Schritt für Schritt übersetzen.

Der erste Teil sagt, dass die Aussage für alle Mengen x gelten soll, die nicht leer sind. Dann soll eine Teilmenge y von x existieren, deren Schnittmenge mit x leer ist.
Mengen, die das Axiom nicht erfüllen, sind sozusagen verboten.
Und wo liegt nun das Problem?
Betrachten wir die Menge M = {1, 2, 3}.
Nehmen wir als Teilmenge mal die 1 heraus. Und nun betrachten wir die Schnittmenge von 1 mit {1, 2, 3}. Ist das nicht 1?

Aber wenn das so wäre, dann dürfte unsere simple Menge M gar nicht existieren! Wie kann das denn sein? Dies ist der Punkt, an dem nicht wenige die Mathematik verfluchen.

Rufen wir dazu Finslers erstes Axiom in Erinnerung:

I. Axiom der Beziehung
Für beliebige Mengen N und M ist stets eindeutig entschieden, ob M die Beziehung β zu N besitzt oder nicht.

Im Klartext: Die Grundlage der Mengenlehre ist eine umfassende Liste, welche Menge welche Elemente hat, bzw. welche Elemente in welcher Menge enthalten sind.
Da wir in unserem Beispiel M = {1, 2, 3} keine weiteren Angaben gemacht haben, hat 1 keine Elemente (und damit keine Eigenschaften).
Die Schnittmenge bilden bedeutet aber anschaulich: Vergleiche die Eigenschaften!
Und da 1 keine Elemente hat, ist die Schnittmenge mit M leer und das Fundierungsaxiom ist erfüllt.

Worum ging es Zermelo überhaupt bei seinem Axiom?
Er betrachtete zunächst ein „Urelement“ namens u:
g0=u

(In unserem Beispiel wäre die 1 so ein Urelement).
Der elementarste nächste Schritt ist nun, sich eine Menge zu denken, die eben dieses Urelement u enthält:

g1={u}

Nun sind g0 und g1 für den Mathematiker zwei verschiedene Dinge.

Also können wir uns eine Menge vorstellen, die nur diese beiden Dinge enthält:

g2={u, {u}}

Der aufmerksame Leser ahnt schon, dass wir hier ein Spiel begonnen haben, das wir beliebig fortsetzen können:
g3={u, {u}, {u, {u}}}

Und ganz nebenbei stellen wir fest, dass wir unsere Folge auch wie folgt benennen können:
1 := g1
2 := g2
3 := g3

Rückblickend erscheint unsere Beispielmenge M = {1, 2, 3} etwas strukturlos. Eigentlich enthält sie drei Urelemente. Die Symbole sind – solange keine weiteren Beziehungen benannt sind, beliebig. Wir hätten auch M = {t, d, w} oder M = {#, @, §} schreiben können.

Betrachten wir nun Zermelos Formulierung des Fundierungsaxioms:

Jede (rückschreitende) Kette von Elementen, in welcher jedes Glied Element der vorangehenden ist, bricht mit endlichem Index ab bei einem Urelement.
(Zermelo 1930)

Für unsere Kette g0 ff ist das Axiom auf den ersten Blick erfüllt und bereitet keinerlei Probleme.

Der eigentliche Mehrwert des Fundierungsaxioms besteht nun darin, dass bestimmte Antinomien vermieden werden – insbesondere die Russellsche Antinomie (siehe Finslers Mengenlehre, Kapitel 1).
Russell betrachtete Mengen, die sich selbst enthalten:
y ∈ y
Bilden wir nun die Menge x := {y}
Dann ist x nicht leer und y ist eine Teilmenge von x. Und wie sieht die Schnittmenge von x und y nun aus? Beide Mengen haben y als Element, daher ist die Schnittmenge y und damit nicht leer. Ein klarer Verstoß gegen das Fundierungsaxiom!

Finsler vermeidet die Russellsche Antinomie auf andere Weise. Er betrachtet ein System Σ von Mengen, die die Eigenschaft haben, dass sie sich nicht selbst enthalten. Allerdings kann es dann noch immer zu merkwürdigen Konstrukten kommen.

Betrachten wir folgendes Rätsel:

Alfred sagt, dass Bernd weiß, was Sache ist.
Bernd sagt, dass Christoph weiß, was Sache ist.
Christoph sagt, dass Alfred weiß, was Sache ist.
Was ist nun Sache?

In Mengenschreibweise:
A={B}
B={C}
C={A}.

Visualisert (Ein Pfeil bedeutet Menge x enthält y):
Zirkel

Dies ist eine zirkelhafte Kette ohne Urelement, die gegen das Fundierungsaxiom verstösst.

Bei Finsler können solche „zirkelhaften“ Mengen durchaus noch auftreten. Finslers Leistung ist es, eine Konstruktion aufzuweisen, die ein zirelfreies Mengenuniversum ermöglicht.

Anschaulich gesprochen: Das Fundierungsaxiom ist ein wirksames Messer, das womöglich zu viele Mengen aus dem Mengenuniversum eliminiert.
In seiner Dissertation MATHEMATISCHER PLATONISMUS. Beiträge zu Platon und zur Philosophie der Mathematik. stellt Gregor Schneider fest: „Die Finsler-Mengenlehre ist allem Anschein nach umfassender als ein ZFC-Universum.“

Literatur
[1] Dirk W. Hoffmann, Grenzen der Mathematik, 2. Auflage, 2013. (Ein übrigens didaktisch hervorragendes Lehrbuch)

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Introspektion. Ein (sehr) kurzer Essay.

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Finsler, Gödel und Penrose: Die Grenze der formalen Mathematik

„a remarkable, if far from adequate, anticipation“
Alonzo Church

Wie bereits früher erwähnt, antizipierte der Mathematiker Paul Finsler – fünf Jahre vor Kurt Gödel – in seiner Arbeit Formale Beweise und die Entscheidbarkeit dessen Unvollständigkeitssatz. Der Aufsatz ist übrigens – zeitgleich mit der Mengenlehre – am 28. November 1925 bei der Mathematischen Zeitschrift eingegangen.

Finsler geht von Hilberts Position aus, dass mathematische Beweise streng formalisiert gedacht werden, als konkret aufgeschriebene, aus bestimmten Zeichen zusammengesetzte Figuren.
Finsler betrachtet die formale Mathematik als ein System S mit einem Wörterbuch B.

Er definiert:

„Irgendein Ding soll endlich definierbar heißen, wenn es eine endliche Zusammenstellung von Zeichen des Systems S gibt, von der Art, daß der vermittels B festzustellende Sinn dieses Ding eindeutig festlegt.“

Für die weitere Betrachtung müssen wir noch den Begriff der Antidiagonalfolge einführen.
Gegeben sei eine Liste von Dualfolgen:
Folge 1: 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 ….
Folge 2: 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 ….
Folge 3: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ….
Folge 4: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ….

Folge n: 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ….

Wir notieren jeweils die nte Stelle von Folge n und erhalten die Abfolge:
0 0 0 1 …
Durch vertauschen von 0 und 1 erhalten vier die ersten vier Ziffern der Antidiagonalfolge:
1 1 1 0 …

Man beachte, dass die Antidiagonalfolge offenbar endlich definierbar ist.

Finsler definiert nun weiter:

Ein formaler Beweis ist eine endliche Kombination von Zeichen des Systems S von der Art, daß der vermöge B festzustellende Sinn einen logisch einwandfreien Beweis ergibt.

Nun gibt es unter den Dualfolgen sicher einige, in denen die Ziffer 0 unendlich oft vorkommt und einige, bei denen das nicht zutrifft. Für jede der Folgen sei ein formaler Beweis gegeben. Wir können also jeder Folge einen Beweis zuordnen.

Nehmen wir an, unser mathematisches Wörterbuch B enthalte alphabetisch geordnete Zeichen:
B= { a, b, c, d, z, …}, dann kommen wir zu einer Liste von Dualfolgen und Beweisen, die in etwa wie folgt aussehen könnte:

Zeile 1: Beweis 1: a f s t Folge 1: 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 ….
Zeile 2: Beweis 2: s w a g Folge 2: 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 ….
Zeile 3: Beweis 3: a v c s Folge 3: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ….
Zeile 4: Beweis 4: b v q w Folge 4: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ….

Selbstverständlich kann es für eine Dualfolge auch mehrere Beweise geben.

Nun können wir uns alle derartigen Beweise aus dem System S mit dem endlichen Zeichenvorrat B als abzählbare Reihe sortiert vorstellen. (Zum Beispiel zunächst nach Länge des Beweises und bei gleicher Länge alphabetisch sortiert.)
Wie gesagt treten einzelne Folgen sicherlich mehrfach auf, wenn es mehrere Beweise gibt, z.B.:
Zeile 9: Beweis 5: b v u w Folge 4: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ….

Die komplette Liste der Beweise stellt sozusagen das formelle Wissen aus System S dar.

Der Clou besteht nun darin, dass Finsler zu dieser Liste die Antidiagonalfolge bildet und dann den folgenden Satz aufstellt:

„In der soeben definierten Antidiagonalfolge kommt die Zahl 0 nicht unendlich oft vor.“

Nun suchen wir in der Liste unserer Beweise im System S vergeblich nach der Antidiagonalfolge – sie ist ja gerade so konstruiert, dass sie mit keiner der bestehenden Folgen übereinstimmt. Der Satz ist also formal nicht entscheidbar.

Und dennoch führen uns logische Überlegungen dazu, dass der Satz falsch ist. Man stelle sich etwa alle Folgen vor, die ab einer Stelle j nur noch die Ziffer 1 wiederholen. Dies führt in der Antidiagonalfolge zur Ziffer 0.
Finsler betrachtet das Beispiel einer Folge, die nur aus 1en besteht und bei der sich mit „beliebig vielen Worten“ der Beweis führen lasse. Eine endlos lange Geschichte über einen einfachen Sachverhalt sozusagen – in unendlich vielen Variationen. Dann kommt die Folge 1 1 1 1 1 1 1 … natürlich unendlich oft in unserer Auflistung vor und die Antidiagonalfolge muss unendlich oft die Ziffer 0 enthalten.

Es gibt aber keinen formalen Beweis dafür und keinen formalen Beweis dagegen, d.h. der Satz ist formal widerspruchsfrei.

Finsler kommt zu dem Ergebnis:

„Es gibt also tatsächlich einen formal darstellbaren Satz, der formal widerspruchsfrei, aber logisch falsch ist.“

Der Platoniker Finsler hat in unserer heutigen Zeit in dem Mathematiker Sir Roger Penrose einen Seelenverwandten. Penrose bespricht im 4. Kapitel seines Werk „The Emperor’s New Mind“ (deutsche Ausgabe“Computerdenken“) den Gödelsche Unvollständigkeitssatz und seine Konsequenzen.

Er stellt nach Besprechung des Satzes fest:

„Wir haben eine wahre Aussage entdeckt, die keinen Beweis innerhalb des Systems besitzt!“ (Seite 105)

Penrose sieht Gödels Entdeckung als Beleg für einen Wahrheitsbegriff jenseits des Formalen:

„Das vorgebliche Desinteresse der Formalisten an ‚mathematischer Wahrheit‘ erscheint mir als sehr eigenartiger Standpunkt für eine Philosophie der Mathematik.“(Seite 106)

Penrose zitiert Finsler übrigens nicht, sondern setzt direkt bei Gödel an. Dennoch ist er Finsler in seiner Schlussfolgerung sehr nah:

„Mathematische Wahrheit ist etwas, das über bloßen Formalismus hinausgeht.“(Seite 108)

Literatur
Roger Penrose: Computerdenken: die Debatte um künstliche Intelligenz, Bewusstsein und die Gesetze der Physik. Heidelberg 1991

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Paul Finsler und eine Welt ohne Widersprüche

Finsler
Paul Finsler (* 11. April 1894 in Heilbronn; † 29. April 1970 in Zürich)

Wir haben uns bereits in einer 6teiligen Serie mit Paul Finslers Mengenlehre beschäftigt. (Siehe dazu Finslers Mengenlehre – Kapitel 1.)

Unser Augenmerk galt der Betrachtung der philosophischen Überlegungen des Platonikers Finsler. In seiner Antrittsvorlesung an der Universität Köln im Jahr 1923 hat Finsler einige seiner Grundgedanken recht anschaulich vorgertragen. Sie trug den Titel: Gibt es Widersprüche in der Mathematik?
Ich kann sehr empfehlen, sich Zeit für die Lektüre dieser Vorlesung zu nehmen. Ich zitiere hier einzelne Kernaussagen.
Er beginnt seine Antrittsvorlesung mit den Worten:

„Verehrte Anwesende! Kann es in der Mathematik Widersprüche geben? Unlösbare Widersprüche? Ist nicht in dieser, der exaktesten der Wissenschaften, jeder Satz entweder richtig oder falsch, ganz unabhängig von allen persönlichen Ansichten oder Anschauungen oder sonstigen Einflüssen? Ist es da möglich, daß man einen Satz beweisen kann und gleichzeitig auch sein Gegenteil?“

Finsler erläutert dann die uns bereits bekannte Russellsche Antinomie (siehe Kapitel 1 der Mengenlehre) und geht auf die Mathematiker ein, die solche Antinomien für ein eher esoterisches Problem halten:

„Es nützt nichts, zu sagen, die Widersprüche kommen nur in den Grenzgebieten der Mathematik vor; denn wo liegt etwa in der Mengenlehre die Grenze zu den Grenzgebieten? und bewegen sich die Untersuchungen Hilberts nicht selbst auch auf diesen Grenzgebieten?“

Finsler betrachtet darauf hin das Wechselverhältnis zwischen Mathematik und Logik und sieht hier einen neuralgischen Punkt:

„Und eine Umgestaltung der Logik? Läßt sich die Logik überhaupt umgestalten? Irgendeine geschriebene oder formalisierte Logik wohl, eine solche kann fehlerhaft oder zu eng sein, nicht aber die reine Logik als solche, die Logik, der man sich als denkendes Wesen unterwerfen muß.“

Finsler geht also – acht Jahre vor Gödels Unvollständigkeitssatz – auf die Schwächen der formaliserten Logik ein. (In einer weiteren Arbeit wird er sogar einen zentralen Gedanken Gödels antizipieren.)

Finsler benennt auch den Kern der mengentheoretischen Antinomien:

Wie kommt es oder wie ist es möglich, daß es Dinge gibt, die nicht zu einer Menge zusammengefaßt werden können?

Unser Resultat dazu lautet ja (siehe Kapitel 3): Ein Element der Russell-Menge entsteht, wenn ein irreduzibles Abstraktum als Konkretum gesetzt wird.

Der letzte Teil der Antrittsvorlesung enthält bereits eine Vorankündigung der Finslerschen Mengenlehre. Er ist sich zu diesem Zeitpunkt sicher, zu einer widerspruchsfreien Mengenlehre gelangt zu sein.

Betrachten wir in diesem Zusammenhang sein Schlußwort:

„Auf jeden Fall aber, glaube ich, steht das Ergebnis fest, daß alle Widersprüche tatsächlich nur scheinbar sind; die Mathematik als solche ist widerspruchsfrei, es gibt noch eine Wissenschaft, in der nichts gilt als die reine Wahrheit.“

Willkommen in einer (mathematischen) Welt ohne Widersprüche!

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Finslers Mengenlehre – Isomorphie und Logik. Kapitel 6.

Es gibt eine gute und eine schlechte Nachricht. Die gute Nachricht: Mit diesem sechsten Kapitel endet vorläufig die Darstellung von Finslers Mengenlehre. Bevor wir weitere Schritte in diese Richtung gehen können, werden wir uns im April noch eingehender mit Zermelo beschäftigen.
Die schlechte Nachricht: Es ist unumgänglich, die Kapitel komplett und in Reihenfolge zu lesen. Bestenfalls sogar zweifach – dann sollte der Leser einen Zugang zum Denken des Platonikers Finsler gefunden haben.

Uns fehlt noch die Definition einer beziehungstreuen Abbildung:

Eine umkehrbar eindeutige Abbildung von zwei vollständigen Systemen aufeinander heiße beziehungstreu, wenn mit der Beziehung A β a für Mengen des einen Systems stets auch die Beziehung A‘ β a‘ für die zugeordneten Mengen des andern Systems erfüllt ist und umgekehrt.

Betrachten wir die Systeme:
Σ := {1, 2, 3, {1,2,3}}
beziehungsweise mit A={1,2,3}
Σ := {1, 2, 3, A}

und
Σ‘ := {4, 5, 6, {4,5,6}}
beziehungsweise mit B={4,5,6}
Σ‘ := {4, 5, 6, B}

In Σ gilt zum Beispiel A β 1 und in Σ‘ gilt B β 4.
In jedem der beiden Systeme gibt es drei Beziehungen.
Eine Abbildung könnte lauten:
1 -> 1’= 4
2 -> 2’= 5
3 -> 3’= 6.

Nun zur Definition der Isomorphie.

Zwei Mengen M und M‘ heißen isomorph, wenn sich die aus den Mengen M bzw. M‘ und den darin wesentlichen Mengen bestehenden Systeme Σ(M) und Σ(M‘) umkehrbar eindeutig und beziehungstreu aufeinander abbilden lassen, und zwar so, daß dabei M auf M‘ abgebildet wird.

Nun also endlich das zweite Axiom:

II. Axiom der Identität
Isomorphe Mengen sind identisch.

In unserem Beispiel heißt das, dass da A={1,2,3} und B={4,5,6} isomorph sind, sie auch identisch sein müssen.

Visualisiert man die Beziehung β durch einen Pfeil, ergibt sich für die Menge A folgendes Bild:
Finsler-1

Erweitern wir Σ um drei unwesentliche Mengen zu einem System
Σ+ := {1, 2, 3, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}}
dann ergibt sich folgende erweiterte Struktur:
Finsler-2
Und diese Struktur ist isomorph zu Σ+‘:
finsler-3

Die ominöse J-Menge der Struktur A={A} wird wie folgt visualisiert:
finsler-4

Es handelt sich um eine reine Selbstreferenz, egal ob GOTT={GOTT} oder ICH={ICH} oder A={A} – in Finslers Mengenlehre sind diese Konstrukte alle identisch. Oder anders ausgedrückt: Im Finsler-Universum kann es nur eine J-Menge geben.

Zum Ende wollen wir noch einen wichtigen Satz ableiten.

Wenn die Mengen M und M‘ dieselben Elemente besitzen, so sind wegen Satz 4 (aus Kapitel 5) auch die Systeme Σ(M) und Σ(M‘) identisch und die Mengen M und M‘ sind isomorph. Nach Axiom II ergibt sich also der Satz:

Satz 5. Zwei Mengen, welche dieselben Elemente besitzen, sind identisch.

Es ist philosophisch recht interessant, einen an sich so einfachen Gedanken hier als Ableitung vorzufinden. Nun verabschieden wir uns vorerst von Finsler.

Es gibt eine Reihe von Anknüpfungspunkten in Richtung Topologie, Graphentheorie und auch der Theorie neuronaler Netzwerke. Doch zuvor werden wir uns mit Zermelo und Gödel beschäftigen.

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Kleine Küchenweisheiten – Giordano Bruno und die Pizza improvvisato

»Du hast die Tomatensauce ohne passierte Tomaten gemacht?«
»Aber dafür mit passierter Paprika.«
»Orrr!«
»Warum Orrr? Ich dachte, es geht um’s Prinzip.«

Eine nicht selten gebrauchte Formulierung: »Es geht doch um’s Prinzip.« Was meinen wir eigentlich damit? Was ist der philosophische Begriff eines Prinzips?

Der italienische Philosoph Giordano Bruno hat sich in seinem Werk „Von der Ursache, dem Prinzip und dem Einen“ (1584) damit beschäftigt. Bevor wir seine Ansicht erörtern, fertigen wie zunächst eine improvisierte Pizza an.

Es gibt viele Rezepte für Pizzateig, aber nur wenige, die einen nie im Stich lassen. Die genaue Dosierung ist dabei absolut wichtig – ich rate zum Einsatz einer Küchenwaage.

Folgende Zusammensetzung pro (großer) Portion:

  • 250 Gramm Mehl
  • 2 Gramm Hefe
  • 1 EL Olivenöl
  • 150 ml Wasser, lauwarm
  • 5 Gramm Salz

Ein Pizzateig erfordert darüber hinaus Liebe und Zeit. Ich siebe zum Beispiel das Mehl und füge – Prise für Prise – die Hefe hinzu. Nach dem Kneten bleiben die Rührstäbe stecken:
teig
Eine Konsistenz, die beinahe geeignet wäre, den Beton der Leverkusener Rheinbrücke zu flicken.

Nun fehlt noch die Pizzasauce. Was tun, wenn man keine passierten Tomaten im Haus hat?

Wenn wir uns an Polpa di pomodoro orientieren, also pürierte Tomaten, dann kann man zumindest improvisieren. Pürierte Paprika plus Tomatenmark.
Dazu eine Paprika in kleine Stücke schneiden – etwas Zwiebel dazu – und ordentlich durchkochen. Danach mit einem Mixer zerkleinern:
paprika
{Das Bild zeigt die Probanden vor der endgültigen Zerkleinerung.}
Im Zuge dieses Arbeitsschrittes fliegen kleine Paprikastücke in der Küche umher. Wenigstens kein langweiliges Leben.

Dann ein ganz klein wenig Wasser und ca. 80 Gramm Tomatenmark dazugeben und kurz aufkochen. Ein Teelöffel Currypaste hat darüber hinaus noch niemandem geschadet.
sauce
Fertig ist die Pizzasauce.

Als Belag gibt es in der spartanischen Ausstattung Pilze und Zwiebeln.
pizza-fertig
Optisch nicht zwingend preiswürdig – geschmacklich aber eine feine Sache. Ehrlich.

Nun wollen wir aber hören, was Bruno zum Begriff des Prinzips zu sagen hat.

DISCONO. Nun erklärt, welchen Unterschied ihr zwischen Ursache und Prinzip in der Natur macht.
TEOFILO. Wiewohl gelegentlich der eine Begriff statt des anderen gebraucht wird, ist dennoch – genau genommen – nicht jedes Ding, das Prinzip ist, auch Ursache: denn der Punkt ist das Prinzip der Linie, aber nicht ihre Ursache; der Augenblick ist das Prinzip der Tätigkeit, [jedoch nicht deren Ursache]; der Zeitpunkt am Anfang der Bewegung ist das Prinzip der Bewegung, aber nicht ihr Ursache; die Voraussetzungen sind das Prinzip der Beweisführung, aber nicht deren Ursache. Daher ist >Prinzip< gegenüber >Ursache< der allgemeinere Begriff.

Der Physiker wird bei dieser Textstelle vielleicht an Symmetriegruppen und das Noether-Theorem denken. Der Mathematiker assoziiert den Begriff des infinitesimal Erzeugenden. Und der Philosoph denkt an Cusanus und seine Beschreibung der Beziehung von Punkt und Linie.

Wir konzentrieren uns hier nur darauf, dass der Begriff der Ursache hinter den Begriff des Prinzips zurücktritt. Das ist philosophisch keine Kleinigkeit – man denke nur an das berühmte Vier-Ursachen-Schema des Aristoteles.

Tatsächlich wurde der Begriff einer Ursache schon zu Beginn der 16. Jahrhunderts einer kritischen Revision unterzogen – nicht zufällig parallel zum Aufkommen moderner Naturwissenschaften.

Der Philosoph Agostino Nifo führt in seinem Kommentar zur Physik des Aristoteles von 1506 den Begriff der vermutenden Beweises an („demonstratio coniecturalis“). Das ist nichts weniger als ein Grundstein für eine Naturwissenschaft, die mit Hypothesen arbeitet und diese verifiziert bzw. falsifiziert.

Was ist nun der Unterschied? Fragen wir nur nach Ursachen und Wirkungen, sind wir schnell in einer Kette aus Ursachen und Wirkungen verstrickt. Jede Ursache hat ihrerseits Ursachen etc.
Der Philosoph soll einen Schritt zurücktreten und sich die Struktur dieser Kette anschauen. Wenn er Glück hat, wird er sie als transzendentales Schmuckstück erkennen.

Ein Kommentar

Eingeordnet unter Kochkurs, Philosophie

Finslers Mengenlehre – Isomorphie und Logik. Kapitel 5.

Bevor wir zum bedeutenden zweiten Axiom kommen, benötigen wir noch eine Reihe weiterer Definitionen. Auch erste Sätze werden bereits abgeleitet.

So lange Axiom I erfüllt bleibt, können wir von jedem System Σ ein Teilsystem bilden.

Definition: Ein System von Mengen, welches mit jeder Menge auch alle Elemente dieser Menge enthält, werde ein vollständiges System genannt.

Beispiele:
Σ_1 = {1,2,3,{1,2,3}}.
Σ_2 = {1,2,{1,2,3}}.

Σ_2 ist unvollständig, da hier das Element 3 fehlt.

Zu jeder beliebigen Menge M können wir ein System konstruieren, das alle Elemente dieser Menge enthält.
Für M= {1,2,3} haben wir mit Σ_1 ein vollständiges System gefunden.
Doch was ist mit
Σ_3 = {1,2,3, {1,2}, {1,2,3}}?

Der Definition nach ist es auch ein vollständiges System zu M. Es enthält aber zusätzlich eine Menge {1,2}.

Definition:Diejenigen Mengen, welche jedem derartigen System angehören, sollen in M wesentlich heißen.

In unserem Beispiel stellen wir also fest, dass die Menge {1,2} für das System nicht wesentlich ist.

Finslers Begriff „wesentlich“ würde ich – auch im Hinblick auf Interpretationen in der neuronalen Logik – wie den Begriff „konstitutiv“ interpretieren.

Finsler führt weiter aus:
„Ist die Menge A in M wesentlich, und ist a Element von A, so ist a auch in M wesentlich, denn es gibt kein vollständiges System, welches die Menge A, aber nicht die Menge a enthält.“

Die Begriffe mögen noch ungewohnt sein, aber der Logik kann man bis zu diesem Punkt folgen. In etwas freier Interpretation finden wir: Die Eigenschaft, konstitutiv zu sein, verliert sich nicht bei der Einbettung in einer umfassendere Menge.

Satz 1. Die in einer Menge M wesentlichen Mengen bilden ein vollständiges System, welches alle Elemente von M enthält. Dasselbe gilt auch für die Menge M und die in ihr wesentlichen Mengen zusammen.

Anschaulich: Der zweite Satz bezieht sich auf Σ_1 = {1,2,3,{1,2,3}}
und der erste Satz auf ein System Σ_0 = {1,2,3}.
In dem einen Fall, sehen wir das, was konstituiert für sich (in der Neuro-Logik wären hier Inputs zu assoziieren) und im zweiten Fall die konstituierenden Elemente zusammen mit dem, was konstituiert wird (die Menge M – in der Neuro-Logik mit einem Output zu assoziieren).

Satz 2. Ein vollständiges System enthält mit jeder Menge M auch alle in M wesentlichen Mengen.

Die Besonderheit liegt hier in dem Wörtchen alle. Wir können den Satz aber aus den Definitionen leicht ableiten. Nehmen wir an, eine wesentliche Menge X sei nicht enthalten, dann ergibt sich ein Widerspruch zur Definition, dass X jedem System angehört, dass die Elemente von M enthält.

Satz 3. Ist A in B wesentlich und B in C, so ist auch A in C wesentlich.

Wir gewinnen hier also das Prinzip der Transitivität. Der Beweis geht wir folgt:
Wir berufen uns auf Satz 1 und wenden ihn auf die Menge C an. Das System Σ_C der in C wesentlichen Mengen ist demnach ein vollständiges System. Offenbar ist B ein Element von C und wir können Satz 2 auf B anwenden.

Satz 4. Wenn A in M wesentlich ist, so ist A Element von M oder in einem Element von M wesentlich.

Dieser Satz bezeichnet sozusagen das Konstitutiv-Sein eines Elements bzw. einer Menge.

Was hat das nun alles mit der Neuro-Logik zu tun?
Dies wird erst im Zusammenhang mit dem zweiten Axiom deutlicher werden.
Nehmen wir vorab ein anschauliches Beispiel. Wir betreten einen Supermarkt in der Absicht, ein großes Glas nutella zu kaufen.
Wir haben also ein geistiges Bild – ein System Σ_nutella im Kopf:

Σ_nutella = {braune Farbe, ovale Grundform, schwer, {weißer Deckel}}.
Dabei ist {weißer Deckel} hier selbst ein Konzept (eine Menge aus Elementen). Nun sind neuerdings nutella-Gläser mit Namen versehen.

Es gibt damit recht verschiedene Systeme:
Σ_nutella‘ = {braune Farbe, „Jürgen“, ovale Grundform, schwer, {weißer Deckel}}.
Σ_nutella“ = {braune Farbe, „Marion“, ovale Grundform, schwer, {weißer Deckel}}.

Offenbar ist die ovale Grundform konstitutiv für das nutella-Glas (oder – in Finslers Worten: wesentlich). Der individuelle Name ist hingegen nicht wesentlich.

Nun ist das nötige Rüstzeug beisammen, um im nächsten Kapitel Finslers zweites Axiom näher zu beleuchten.

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Finslers Mengenlehre – Isomorphie und Logik. Kapitel 4.

Wir sind zu folgendem Resultat gekommen:
Ein Element der Russell-Menge entsteht, wenn ein irreduzibles Abstraktum als Konkretum gesetzt wird.

Mit einfachen Worten ausgedrückt, bedeutet das, dass man Mengen und Elemente nicht immer auf eine Ebene setzen kann. Es kann zu Widersprüchen führen, wenn man bestimmte Mengen wie ein Element behandelt.

Es ist also (wie in der Grafik in Kapitel 3 angedeutet) eine Art Meta-Ebene zu berücksichtigen.
Dazu führt Finsler den Begriff des Systems. Das System umfasst Mengen und Elemente, mit denen wir operieren. Das System selbst allerdings taucht nicht als Element auf.

Wir kommen nun zum ersten Axiom.

I. Axiom der Beziehung
Für beliebige Mengen N und M ist stets eindeutig entschieden, ob M die Beziehung β zu N besitzt oder nicht.

Nach den etwas verwirrenden Antinomien ist das nun mal ein Satz von absoluter Klarheit. Wir betreiben Mathematik in einem Universum (dem System Σ) geklärter Beziehungen.

Als Anhang zum ersten Axiom noch folgende Definitionen:

Wenn eine Menge M zu einer Menge A die Beziehung β besitzt, oder kurz, wenn M β A gilt, so soll A ein Element von M heißen.

Ein Ding von Σ, welches die Beziehung β zu keinem Ding besitzt (nicht nur zu keinem andern), soll eine Nullmenge heißen.

Ein Ding von Σ, welches die Beziehung β allein zu einer Nullmenge besitzt, welches also die Nullmenge als einziges Element enthält, werde als Einsmenge bezeichnet.

Damit haben wir schon einiges an Rüstzeug für die Mengenlehre zusammen.
Welchen Sinn macht aber nun das Axiom? Wird damit nicht schon etwas zu viel vorausgesetzt?
Man spürt bei Finsler sehr stark das Bemühen um Klarheit und den Willen Antinomien zu vermeiden. Ob es Alternativen zu Axiom I gibt, kann hier nicht weiter erörtert werden.

Spannend aber wird es, wenn wir Finslers Mengenlehre mit dem Blick der Neurowissenschaften betrachten.
„Mengen“, „Zusammenfassungen“ oder „Abstraktionen“ werden in den Neurowissenschaftlern durch Gruppen von Neuronen (neural assemblies) repräsentiert, die sich in ihren Aktivitätsmustern (synfire chains) synchronisieren.

Wenn wir einfache Sinneseindrücke (etwa (a) die Farbe rot und (b) die Form rund) als Elemente betrachten, so gibt es eine neural assembly N (hier als Menge aufgefasst), die a und b als Elemente enthält und das abstrakte Konzept „Clownsnase“ repräsentiert. Geltung definiert sich aus der neuronalen Verdrahtung heraus und ist ganz pragmatisch aufzufassen.

In diesem Sinne passt Finslers Mengenlehre sehr gut zu einer Neuro-Logik im Sinne von Olaf Breidbach:

„Die soweit sichere Realität weiß sich demnach zunächst zurückgesetzt. Aus ihren Bestimmungen in Geltung gesetzt, findet sich die Welt in ihren Konturierungen allein in einer internen Realität, deren Bestimmtheit die Rationalität eines bloß Funktionalen, die Beliebigkeit eines reinen Pragmatismus, in einen festen Geltungshorizont überführt.“ [1], Seite 167

Literatur
[1] Breidbach, Olaf: Deutungen. Zur philosophischen Dimension der internen Repräsentation. Velbrück Wissenschaft. Weilerswist 2001. 194 S.

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